Если в `ABC` равнобедренном треугольнике `AB=BC`, и луч, исходящий из угла `B`, отсекает от угла 1/3 и пересекает `AC`

Schuka_2649

69

Давайте решим данную задачу. По условию задачи, у нас имеется равнобедренный треугольник ABC, где AB = BC. Также, луч, исходящий из угла B, отсекает от угла треть его величины и пересекает сторону AC в точке D. Обозначим x как длину отрезка AB (и, соответственно, BC).

Так как треугольник ABC является равнобедренным, можно заметить, что угол BAC также равен углу BCA. Из этого следует, что треугольники ABD и BCD тоже равнобедренные.

Из условия задачи мы также знаем, что AB - BD = 3. Заметим, что BD также является длиной двух равных отрезков: AD и DC.

Используя информацию, которую мы имеем, мы можем записать следующие уравнения:

AD + BD = AB,
DC + BD = BC.

Так как AB = BC = x, мы можем переписать эти уравнения следующим образом:

AD + BD = x,
DC + BD = x.

Так как BD = AD + DC, мы можем объединить эти два уравнения и получить:

AD + (AD + DC) = x,
2AD + DC = x.

Теперь рассмотрим отношение углов в треугольнике ABD. Из условия задачи было сказано, что луч, исходящий из угла B, отсекает от угла треть его величины. Это означает, что угол ABD в 3 раза больше угла BAD.

Пусть угол BAD равен t. Тогда угол ABD равен 3t.

Так как сумма углов треугольника равна 180 градусам, мы можем записать следующее уравнение:

t + 3t + угол B = 180°.

Так как у треугольника ABC два равных угла (из-за равнобедренности), угол B равен (180° - 2t)/2 = 90° - t.

Теперь мы можем переписать уравнение:

t + 3t + (90° - t) = 180°,
3t - t + 90° = 180°,
2t + 90° = 180°,
2t = 90°,
t = 45°.

Таким образом, угол BAD равен 45 градусам.

Теперь мы можем вернуться к уравнению 2AD + DC = x и использовать угол BAD в градусах. Подставляя значение DC как AD + DC, получим следующее:

2AD + AD + DC = x,
3AD + DC = x.

Но мы знаем, что угол BAC равен углу ACB, так как треугольник ABC равнобедренный. Это означает, что треугольники ACD и BAC равны, поэтому их стороны пропорциональны. Мы можем записать следующее:

AD/AB = DC/BC.

Так как AB = BC = x, мы можем переписать это уравнение следующим образом:

AD/x = DC/x.

Теперь мы можем упростить уравнение 3AD + DC = x, подставив AD = x и DC = x:

3x + x = x,
4x = x,
4 = 1.

Таким образом, мы приходим к противоречию: уравнение 4 = 1 неверно.

Таким образом, задача не имеет решения с целыми числами для длины AC.