Если в пирамиде ABCD выполняются условия BD|AB, BD|BC, AB|BC, AB=6√3, BD= 5√3/4, и угол BAC равен 30°, то каков объем

Дмитриевна

66

Чтобы найти объем пирамиды ABCD, мы можем воспользоваться формулой для объема пирамиды:

\[V = \frac{1}{3} \times S_{\text{основания}} \times h,\]

где \(S_{\text{основания}}\) - площадь основания пирамиды, \(h\) - высота пирамиды.

Прежде чем продолжить с расчетами, давайте разберемся с условиями задачи. У нас есть три условия, которые говорят нам о взаимном положении отрезков на основании пирамиды. Здесь символ "|" означает, что отрезки параллельны друг другу.

По условию задачи BD|AB, BD|BC и AB|BC, мы можем заключить, что отрезок BD является высотой пирамиды, так как он перпендикулярен плоскости основания ABCD. Также из этих условий следует, что треугольник ABD равнобедренный, так как BD делит сторону AB на две равные части.

Теперь давайте найдем площадь основания пирамиды. Мы знаем, что треугольник ABD равнобедренный, поэтому высота пирамиды BD является высотой треугольника ABD, а сторона AB является основанием треугольника ABD. Формула для площади треугольника:

\[S_{\text{треугольника}} = \frac{1}{2} \times \text{сторона} \times \text{высота}.\]

Мы знаем, что сторона AB равна \(6\sqrt{3}\), а высота BD равна \(\frac{5\sqrt{3}}{4}\). Подставим эти значения:

\[S_{\text{треугольника}} = \frac{1}{2} \times 6\sqrt{3} \times \frac{5\sqrt{3}}{4} = \frac{15\sqrt{3} \times \sqrt{3}}{4} = \frac{45}{4}.\]

Теперь у нас есть площадь основания пирамиды \(S_{\text{основания}} = \frac{45}{4}\). Осталось найти высоту пирамиды \(h\).

Мы можем воспользоваться теоремой Пифагора в треугольнике ABC, чтобы найти сторону AC:

\[AC^2 = AB^2 + BC^2.\]

Угол BAC равен 30°, а сторона AB равна \(6\sqrt{3}\), поэтому:

\[AC^2 = (6\sqrt{3})^2 + BC^2.\]
\[AC^2 = 108 + BC^2.\]

Также мы знаем, что BC равно BD, поэтому:

\[AC^2 = 108 + (5\sqrt{3}/4)^2.\]
\[AC^2 = 108 + 75/16.\]
\[AC^2 = 180/16 + 75/16.\]
\[AC^2 = 255/16.\]

Поскольку сторона AC должна быть положительной, мы можем взять положительный корень:

\[AC = \sqrt{255/16}.\]

Теперь у нас есть длина стороны AC. Но мы хотим найти высоту пирамиды \(h\), которая является высотой треугольника ABC. Чтобы найти ее, мы можем использовать формулу для площади треугольника:

\[S_{\text{треугольника}} = \frac{1}{2} \times \text{сторона} \times \text{высота}.\]

Мы знаем, что \(S_{\text{треугольника}} = \frac{45}{4}\) и сторона AC равна \(\sqrt{255/16}\). Подставим значения и найдем высоту:

\[\frac{45}{4} = \frac{1}{2} \times \sqrt{255/16} \times \text{высота}.\]
\[90 = \sqrt{255/16} \times \text{высота}.\]

Делим обе стороны на \(\sqrt{255/16}\):

\[\frac{90}{\sqrt{255/16}} = \text{высота}.\]
\[\frac{90}{\sqrt{255/16}} = \text{высота}.\]

Теперь, когда у нас есть площадь основания (\(S_{\text{основания}} = \frac{45}{4}\)) и высота пирамиды (\(\text{высота} = \frac{90}{\sqrt{255/16}}\)), мы можем найти объем пирамиды, используя формулу:

\[V = \frac{1}{3} \times S_{\text{основания}} \times \text{высота}.\]

Подставим известные значения:

\[V = \frac{1}{3} \times \frac{45}{4} \times \frac{90}{\sqrt{255/16}}.\]
\[V = \frac{45}{12} \times \frac{90}{\sqrt{255/16}}.\]
\[V = \frac{15}{4} \times \frac{90}{\sqrt{255/16}}.\]

Мы можем упростить это дальше, перемножив числители:

\[V = \frac{15 \times 90}{4 \times \sqrt{255/16}}.\]

Вычислим числитель и знаменатель отдельно:

\[V = \frac{1350}{4 \times \sqrt{255/16}}.\]

Для знаменателя, сначала упростим выражение \(\sqrt{255/16}\):

\[\sqrt{255/16} = \sqrt{\frac{255}{16}} = \frac{\sqrt{255}}{\sqrt{16}} = \frac{\sqrt{255}}{4}.\]

Теперь, когда мы знаем значение знаменателя, мы можем подставить его обратно в формулу:

\[V = \frac{1350}{4 \times \frac{\sqrt{255}}{4}}.\]
\[V = \frac{1350}{\sqrt{255}}.\]

Итак, окончательный ответ: объем пирамиды равен \(\frac{1350}{\sqrt{255}}\).