Если все стороны треугольника меньше значения m, то по крайней мере одно из его высот будет больше m. Это правильно?

Zolotoy_Vihr

16

Да, это утверждение верное. Давайте докажем его.

Пусть у нас есть треугольник ABC, где все стороны (AB, BC и CA) меньше значения m. Мы хотим доказать, что по крайней мере одна из его высот (например, высота, проведенная из вершины A и опущенная на сторону BC) будет больше m.

Предположим противное - допустим, что все высоты треугольника меньше или равны значению m. Пусть H_A, H_B и H_C обозначают длины соответствующих высот треугольника.

Тогда мы можем записать следующие неравенства:

H_A ≤ m, H_B ≤ m, H_C ≤ m

Потому что мы предполагаем, что все высоты меньше или равны m.

Теперь давайте рассмотрим соотношение между площадью треугольника ABC и длинами его сторон. Пусть S обозначает площадь треугольника ABC, а a, b и c - длины его сторон.

Мы знаем, что S = 1/2 * a * H_A = 1/2 * b * H_B = 1/2 * c * H_C

Теперь рассмотрим высоту H_A. Мы можем записать неравенство S = 1/2 * a * H_A в следующем виде:

H_A = 2S / a

Аналогично, H_B = 2S / b и H_C = 2S / c.

Теперь, используя эти выражения для высот и неравенства, записанные ранее, мы можем сделать следующее сравнение:

2S / a ≤ m,
2S / b ≤ m,
2S / c ≤ m

Умножим каждое неравенство на a, b и c соответственно:

2S ≤ ma,
2S ≤ mb,
2S ≤ mc

Теперь сложим все три неравенства:

2S + 2S + 2S ≤ ma + mb + mc

6S ≤ (ma + mb + mc)

Заметим, что в правой части у нас сумма длин всех сторон треугольника (a + b + c). Поскольку треугольник имеет ненулевую площадь S, мы можем записать неравенство:

6S ≤ m(a + b + c)

Теперь давайте вспомним неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим:

(a + b + c) / 3 ≥ √(abc)

Подставим это неравенство в наше выражение и получим:

6S ≤ m * 3√(abc)

Теперь заметим, что площадь треугольника S равна 1/4 * √(abc(a+b+c)). Если мы это подставим, получим:

6 * (1/4 * √(abc(a+b+c))) ≤ m * 3√(abc)

Упростим это выражение:

3/2 * √(abc(a+b+c)) ≤ m * 3√(abc)

На этом этапе мы можем сократить 3:

1/2 * √(abc(a+b+c)) ≤ m * √(abc)

Теперь возведем обе части равенства в квадрат:

1/4 * abc(a+b+c) ≤ m^2 * abc

Мы можем сократить abc со всех сторон:

1/4 * (a+b+c) ≤ m^2

Раскроем скобки:

1/4 * a + 1/4 * b + 1/4 * c ≤ m^2

Складываем члены:

1/4 * (a + b + c) ≤ m^2

Теперь заметим, что a + b + c - это периметр треугольника, обозначим его P:

1/4 * P ≤ m^2

Умножим оба выражения на 4:

P ≤ 4m^2

Или в другой форме:

P/4 ≤ m^2

Таким образом, получаем, что если все стороны треугольника меньше значения m, то периметр треугольника P будет меньше 4m^2.

Если мы сравним этот результат с неравенством P/4 ≤ m^2, то мы можем сделать вывод, что m^2 будет больше, чем P/4. Это означает, что m будет больше, чем P/2.

То есть, если все стороны треугольника меньше значения m, по крайней мере одна из его высот будет больше m.

Таким образом, наше исходно утверждение верно.