Если высота равнобедренного прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна а, то какова длина его катета?

Smurfik

61

Чтобы определить длину катета равнобедренного прямоугольного треугольника, проведем некоторые выкладки.
Пусть сторона гипотенузы равна \( c \), а длина катета равна \( b \).
Используя теорему Пифагора, мы можем записать следующее соотношение:
\[ a^2 + b^2 = c^2 \]

Так как треугольник равнобедренный, то острые углы при основании треугольника равны \( 45^\circ \).
Также, в равнобедренном треугольнике боковой катет равен половине гипотенузы.

Теперь, зная это, мы можем записать выражение для длины катета:
\[ b = \frac{c}{2} \]

Исходя из этого, мы можем заполнить уравнение Пифагора:
\[ a^2 + \left(\frac{c}{2}\right)^2 = c^2 \]

Далее, решим это уравнение по шагам, чтобы найти значение длины катета.

1. Раскроем квадрат во втором слагаемом:
\[ a^2 + \frac{c^2}{4} = c^2 \]

2. Приведем все слагаемые к общему знаменателю:
\[ 4a^2 + c^2 = 4c^2 \]

3. Перенесем все слагаемые на одну сторону уравнения:
\[ 4a^2 = 3c^2 \]

4. Разделим обе части уравнения на 3:
\[ \frac{4a^2}{3} = c^2 \]

5. Возьмем квадратный корень от обеих частей уравнения:
\[ \sqrt{\frac{4a^2}{3}} = c \]

6. Сократим корень и вынесем коэффициент за знак корня:
\[ \sqrt{\frac{4}{3}a^2} = c \]

7. Упростим выражение под знаком корня:
\[ \frac{2a}{\sqrt{3}} = c \]

Таким образом, длина катета равна \( \frac{2a}{\sqrt{3}} \).

Для окончательного ответа подберем более простое значение выражения, устраняя знаменатель в знаменателе.
Для этого умножим и поделим на \( \sqrt{3} \):
\[ \frac{2a \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{2a \cdot \sqrt{3}}{3} \]

Таким образом, длина катета равна \( \frac{2a \cdot \sqrt{3}}{3} \). Формула, к которой мы пришли, является ответом на задачу.