Есть ли решение для данной системы уравнений? Определите, имеет ли система решение, исходя из коэффициентов

Mariya

10

Для того чтобы определить, имеет ли данная система уравнений решение, мы можем использовать метод определителей. Для этого нужно проверить условие необходимого и достаточного условия существования решения - равенство определителя главной матрицы системы нулю.

Начнем с записи данной системы уравнений:
\[
\begin{align*}
x - \frac{1}{2}y + 3 &= 0 \\
2x - y + 6 &= 0
\end{align*}
\]

Теперь составим главную матрицу системы, которая представляет собой матрицу коэффициентов перед переменными \(x\) и \(y\), а именно:
\[
\begin{pmatrix}
1 & -\frac{1}{2} \\
2 & -1
\end{pmatrix}
\]

Теперь необходимо вычислить определитель этой матрицы, который можно получить по формуле для матрицы размерности 2x2:
\[
\text{det} =
\begin{vmatrix}
1 & -\frac{1}{2} \\
2 & -1
\end{vmatrix}
= (1 \cdot -1) - (-\frac{1}{2} \cdot 2)
= -1 + 1
= 0
\]

Определитель главной матрицы равен нулю, что означает, что данная система уравнений имеет бесконечно много решений.

Пояснение:
Когда определитель главной матрицы равен нулю, это означает, что система имеет либо единственное решение (если все строки матрицы линейно независимы), либо бесконечное количество решений (если строки матрицы линейно зависимы).

В данном случае мы получили, что определитель равен нулю, следовательно, система имеет бесконечное количество решений. Это объясняется тем, что два уравнения системы являются линейно зависимыми. Это значит, что одно уравнение можно выразить через другое, поэтому существует бесконечное количество пар значений переменных \(x\) и \(y\), удовлетворяющих данной системе уравнений.