а) Какая обыкновенная дробь представляет число 1,52(3)? б) Какая обыкновенная дробь представляет число 2,1(61)?

Yuzhanka

9

Хорошо, давайте решим задачу шаг за шагом.

а) Какая обыкновенная дробь представляет число \(1.52(3)\)?
Для начала давайте разберёмся, что означают цифры после запятой в скобках - это периодическая десятичная дробь. В данной задаче после запятой в скобках стоит цифра 3, что значит, что цифра 3 будет повторяться в бесконечном цикле.

Для того чтобы найти обыкновенную дробь, представляющую данную периодическую десятичную дробь, нужно представить её в виде \(x = a + \frac{p}{q}\), где \(a\) - это целая часть, \(\frac{p}{q}\) - обыкновенная дробь, \(\frac{p}{q}\) - это представление периода после запятой. Это можно записать как \(x = a + \frac{p}{q}\).

Давайте посмотрим на число \(1.52(3)\):
Первое, что мы видим, это число 1 перед десятичной дробью. Это значит, что \(a = 1\).
Затем, у нас идут две цифры перед периодом, 5 и 2. Это значит, что у нас будет двухзначная дробь.
После этого идёт период, который состоит только из одной цифры 3.

Теперь мы можем записать уравнение:
\(x = 1 + \frac{p}{q}\)

Для нахождения обыкновенной дроби, нам нужно будет найти числитель \(p\) и знаменатель \(q\). Давайте начнем с числителя.

\(p\) можно найти, вычислив разность между числом с периодом и числом без периода. То есть:
\(10x - x = 152.33 - 1.52 \Rightarrow 9x = 150.81\)

Теперь делим 150.81 на 9, чтобы найти значение числителя \(p\). Получаем:
\(p = \frac{150.81}{9} = 16.757\)

Заметим, что \(p\) является десятичной дробью. Чтобы найти числитель \(p\), мы должны округлить его до целого числа. В данном случае, мы можем округлить \(p\) до ближайшего целого числа 17.

Теперь давайте найдём знаменатель \(q\). Знаменатель \(q\) будет равен 10 в степени, соответствующей количеству цифр в периоде. В данном случае у нас только одна цифра, поэтому \(q = 10^1 = 10\).

Таким образом, обыкновенная дробь, представляющая число \(1.52(3)\), будет:
\(x = 1 + \frac{17}{10}\)

Ответ: \(x = \frac{27}{10}\)

б) Какая обыкновенная дробь представляет число \(2.1(61)\)?
Давайте повторим описанный выше подход:

Для начала разделим число на целую часть и десятичную дробь. В данном случае, целая часть равна 2.

Затем, у нас имеется одна цифра перед периодом, что означает, что у нас однозначная дробь.

После этого идет период, который состоит из двух цифр - 6 и 1.

Теперь мы можем записать уравнение: \(x = 2 + \frac{p}{q}\)

Аналогично предыдущей задаче, мы должны найти числитель \(p\) и знаменатель \(q\). Для этого, мы должны найти разность между числом с периодом и числом без периода.

То есть, \(10x - x = 21.61 - 2.1 \Rightarrow 9x = 19.51\)

Теперь делим 19.51 на 9, чтобы найти значения числителя \(p\). Получаем: \(p = \frac{19.51}{9} \approx 2.168\)

Мы округляем значение \(p\) до ближайшего целого числа, получаем \(p = 2\).

Далее, найдем знаменатель \(q\). В данном случае, у нас есть два цифры в периоде, поэтому \(q = 10^2 = 100\).

Таким образом, обыкновенная дробь, представляющая число \(2.1(61)\), будет: \(x = 2 + \frac{2}{100}\)

Ответ: \(x = \frac{201}{100}\)