Find the general solution of the following first-order PDE xu_x + yu_y = x^2+ y^2 in the range x,y > 0 . Write

Кузя_946

63

Для начала рассмотрим данное уравнение в форме, удобной для решения. У нас есть уравнение \(xu_x + yu_y = x^2 + y^2\).

Сначала определим характеристики этого уравнения. Для этого запишем уравнения характеристик:

\[\frac{dx}{x} = \frac{dy}{y} = \frac{du}{x^2 + y^2}\]

Решив первые два уравнения, получаем:

\[\ln|x| = \ln|y| = \ln|x^2 + y^2 + C_1\]

Отсюда мы можем выразить \(C_1\) через новую константу \(C_2\), получив:

\[x^2 + y^2 = C_2xy\]

Теперь рассмотрим характеристическую систему:

\[\frac{dx}{x} = \frac{dy}{y} \Rightarrow \ln|x| = \ln|y| \Rightarrow x^2 + y^2 = C_2xy\]

Теперь попробуем решить уравнение при помощи метода характеристик. Для этого введем замену:

\[z = x^2 + y^2\]

Тогда уравнение перепишется в виде:

\[z u_z = z\]

Решение этого линейного уравнения:

\[u = \ln|z| + f(y^2 - x^2)\]

Возвращаемся к исходным переменным:

\[u = \ln(x^2 + y^2) + f(y^2 - x^2)\]

Таким образом, общее решение уравнения \(xu_x + yu_y = x^2 + y^2\) в области \(x, y > 0\) задается выражением:

\[u(x, y) = \ln(x^2 + y^2) + f(y^2 - x^2)\]