Find the value of (a,b) given that ∣a∣ = 41, ∣b∣ = 42, and the angle between vectors a and b

Akula

51

Для нахождения значения (a,b) при условии, что ∣a∣ = 41, ∣b∣ = 42 и угол между векторами a и b, нам потребуется использовать некоторые математические концепции. Давайте приступим к решению:

1. Сначала рассмотрим модули векторов. Поскольку ∣a∣ = 41 и ∣b∣ = 42, мы имеем два уравнения:

∣a∣ = √(a₁² + a₂²) = 41
∣b∣ = √(b₁² + b₂²) = 42

Где a₁ и a₂ - компоненты вектора a, а b₁ и b₂ - компоненты вектора b.

2. Теперь рассмотрим угол между векторами a и b. Обозначим этот угол как θ.

Мы знаем, что скалярное произведение двух векторов равно произведению их модулей на косинус угла между ними:

a · b = ∣a∣ ∣b∣ cos(θ)

Подставим значения ∣a∣ = 41 и ∣b∣ = 42 в это уравнение:

a · b = 41 * 42 * cos(θ)

3. Таким образом, мы имеем систему двух уравнений:

√(a₁² + a₂²) = 41 (уравнение 1)
√(b₁² + b₂²) = 42 (уравнение 2)
41 * 42 * cos(θ) = a₁b₁ + a₂b₂ (уравнение 3)

Нашей целью является нахождение значений (a, b), которые удовлетворяют этой системе уравнений.

4. Решим эту систему уравнений шаг за шагом, начиная с уравнения 1 и 2:

Из уравнения 1 получаем:
a₁² + a₂² = 41²

Из уравнения 2 получаем:
b₁² + b₂² = 42²

Теперь объединим эти два уравнения вместе:
a₁² + a₂² + b₁² + b₂² = 41² + 42²

Применяя геометрическую интерпретацию, это уравнение означает, что сумма квадратов длин векторов a и b равна сумме квадратов их модулей.

5. Теперь решим уравнение 3:

41 * 42 * cos(θ) = a₁b₁ + a₂b₂

Это уравнение связывает произведение модулей и косинуса угла между векторами a и b с их компонентами.

6. Так как углу между векторами a и b соответствует скалярное произведение, мы можем использовать его, чтобы решить уравнение. Подставим значения a₁, a₂, b₁ и b₂ в уравнение 3.

41 * 42 * cos(θ) = a₁b₁ + a₂b₂

замена a₁ = 41, a₂ = 0 (по условию ∣a∣ = 41) и b₁ = 0, b₂ = 42 (по условию ∣b∣ = 42):

41 * 42 * cos(θ) = 41 * 0 + 0 * 42

41 * 42 * cos(θ) = 0

Получается, что данное уравнение может быть выполнено только тогда, когда cos(θ) = 0.

7. Итак, чтобы найти значения (a, b), мы должны найти такие векторы a и b, у которых выполняются условия из уравнений 1 и 2, а также угол между ними равен 90 градусам.

Один из таких примеров: a = (41, 0), b = (0, 42).

В этом случае ∣a∣ = 41, ∣b∣ = 42 и угол между векторами a и b равен 90 градусам.

Таким образом, значение (a, b) равно a = (41, 0) и b = (0, 42).