Где находятся точки пересечения графика функции f(x) = -2x^2 + x + 3 с осями координат?

Солнечный_День

67

Чтобы найти точки пересечения графика функции \(f(x) = -2x^2 + x + 3\) с осями координат, нужно найти значения \(x\), при которых \(f(x)\) равно нулю.

Начнем с \(x\)-оси. Точка пересечения графика этой функции с \(x\)-осью будет иметь \(y\)-координату, равную нулю. То есть, чтобы найти точку пересечения с \(x\)-осью, мы должны найти решение уравнения \(f(x) = 0\).

Подставим \(f(x) = 0\) в нашу функцию:

\(-2x^2 + x + 3 = 0\)

Это квадратное уравнение. Чтобы решить его, можно использовать формулу дискриминанта. Дискриминант \(D\) в данном случае равен:

\[D = b^2 - 4ac\]

где \(a = -2\), \(b = 1\) и \(c = 3\).

Подставим значения в формулу и найдем дискриминант:

\[D = (1)^2 - 4(-2)(3) = 1 + 24 = 25\]

Так как дискриминант положительный, у нас есть два корня этого уравнения.

Формула для нахождения корней квадратного уравнения:

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\]

Подставим значения \(a\), \(b\) и \(D\) в формулу и найдем корни:

\[x_1 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2(-2)} = \frac{-1 + 5}{-4} = \frac{4}{-4} = -1\]
\[x_2 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2(-2)} = \frac{-1 - 5}{-4} = \frac{-6}{-4} = \frac{3}{2}\]

Таким образом, первая точка пересечения графика функции \(f(x)\) с \(x\)-осью находится в точке (-1, 0), а вторая точка находится в точке \(\left(\frac{3}{2}, 0\right)\).

Теперь рассмотрим \(y\)-ось. Чтобы найти точку пересечения графика функции с \(y\)-осью, нужно найти значение функции \(f(x)\), когда \(x\) равно нулю.

Подставим \(x = 0\) в уравнение функции:

\[f(0) = -2(0)^2 + (0) + 3 = 3\]

Таким образом, точка пересечения графика функции \(f(x)\) с \(y\)-осью находится в точке (0, 3).

Итак, точки пересечения графика функции \(f(x) = -2x^2 + x + 3\) с осями координат: (-1, 0), \(\left(\frac{3}{2}, 0\right)\) и (0, 3).