Найдите площадь области, заключенной между графиками функций y=2sinx и y=-sinx, при условии, что 0 < x

Krosha_7375

4

Для решения этой задачи необходимо найти точки пересечения графиков функций \(y = 2\sin x\) и \(y = -\sin x\), а затем найти площадь области, заключенной между этими графиками.

Давайте начнем с поиска точек пересечения. Для этого приравняем уравнения функций друг к другу и решим полученное уравнение:

\[2\sin x = -\sin x\]

Чтобы решить это уравнение, приведем его к более простому виду:

\[2\sin x + \sin x = 0\]
\[3\sin x = 0\]

Теперь разделим обе части уравнения на 3, чтобы найти значение \(\sin x\):

\[\sin x = 0\]

Для значений \(\sin x = 0\) существуют бесконечно много решений. Одно из таких решений будет \(x = 0\).

Теперь найдем другие решения уравнения \(\sin x = 0\) в пределах \(0 < x < 2\pi\). Поскольку \(\sin x = 0\) в точках, когда \(x = 0\), \(x = \pi\), и \(x = 2\pi\), то это будут дополнительные точки пересечения графиков.

Теперь, имея точки пересечения графиков, мы можем найти площадь области между ними. По условию задачи, мы ищем площадь при условии \(0 < x < 2\pi\).

Давайте разделим этот интервал на три части: \((0, \pi)\), \((\pi, 2\pi)\), исключая значения \(x = 0\), \(x = \pi\) и \(x = 2\pi\). Получим три области.

Первая область находится между графиками функций y=2sinx и y=-sinx, когда \(x\) принимает значения от 0 до \(\pi\). Для нахождения площади этой области мы должны вычислить разность между интегралами этих функций на данном интервале. Формально это будет выглядеть так:

\[S_1 = \int_{0}^{\pi} (2\sin x) \, dx - \int_{0}^{\pi} (-\sin x) \, dx\]

Вычислим эти интегралы:

\[\int_{0}^{\pi} (2\sin x) \, dx = -2\cos x \Bigg|_{0}^{\pi} = -2\cos \pi + 2\cos 0 = -2(-1) + 2(1) = -2 + 2 = 0\]
\[\int_{0}^{\pi} (-\sin x) \, dx = \cos x \Bigg|_{0}^{\pi} = \cos \pi - \cos 0 = -1 - 1 = -2\]

Таким образом, площадь первой области \(S_1 = 0 - (-2) = 2\).

Аналогичным образом вычислим площади для второй и третьей областей. Вторая область находится между графиками функций y=2sinx и y=-sinx, когда \(x\) принимает значения от \(\pi\) до \(2\pi\). Третья область находится между графиками функций y=2sinx и y=-sinx, когда \(x\) принимает значения от \(2\pi\) до \(\pi\).

Суммируем площади всех трех областей:

\[S = S_1 + S_2 + S_3 = 2 + 2 + 2 = 6\]

Таким образом, площадь области, заключенной между графиками функций \(y=2\sin x\) и \(y=-\sin x\) при условии \(0 < x < 2\pi\), равна 6.