ГЕОМЕТРИЯ 8 КЛАСС №1 В треугольнике ABC, где угол C прямой угол, гипотенуза равна 9см, а косинус угла B равен

Милашка

10

Задание №1:
Для решения данной задачи мы можем использовать теорему косинусов. Дано, что угол C прямой угол, а гипотенуза треугольника ABC равна 9 см. Также известно, что косинус угла B равен 2/3.

Теорема косинусов гласит:
\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C)\]

В нашем случае гипотенуза треугольника (c) равна 9 см. Подставляем известные значения в формулу:
\[9^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(90^\circ)\]
\[81 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot 0\]
\[81 = a^2 + b^2\]

Так как гипотенуза равна 9 см, мы можем записать уравнение:
\[9^2 = a^2 + b^2\]
\[81 = a^2 + b^2\]

Мы также знаем, что косинус угла B равен 2/3. Используя определение косинуса, мы можем записать:
\[\cos(B) = \frac{a}{c}\]
\[\cos(B) = \frac{a}{9}\]
\[\frac{2}{3} = \frac{a}{9}\]

Отсюда найдем a:
\[a = \frac{2}{3} \cdot 9\]
\[a = 6\]

Теперь мы можем найти b, подставив a = 6 в уравнение:
\[81 = 6^2 + b^2\]
\[81 = 36 + b^2\]
\[b^2 = 81 - 36\]
\[b^2 = 45\]
\[b = \sqrt{45}\]

Ответ: Длина катета BC прямоугольного треугольника равна \(\sqrt{45}\) см.

Задание №2:
Дано, что площадь треугольника ADE равна 28 см². Мы знаем, что средняя линия DE делит треугольник ABC на два равных треугольника ADE и BDE.

Таким образом, площадь треугольника ABC будет вдвое больше площади треугольника ADE:

\[S_{ABC} = 2 \cdot S_{ADE}\]
\[S_{ABC} = 2 \cdot 28\]
\[S_{ABC} = 56\]

Ответ: Площадь треугольника ABC равна 56 см².

Задание №3:
Дано, что AB = 8 см, BC = 6 см, AC = 4 см. Для нахождения площади треугольника ABC мы можем использовать формулу Герона.

Формула Герона для нахождения площади треугольника по длинам его сторон гласит:

\[S = \sqrt{p \cdot (p - a) \cdot (p - b) \cdot (p - c)}\]

где p - полупериметр треугольника (p = (a + b + c)/2), а a, b и c - длины сторон треугольника.

Вычислим полупериметр треугольника:
\[p = \frac{8 + 6 + 4}{2} = 9\]

Теперь подставим значения в формулу Герона:
\[S = \sqrt{9 \cdot (9 - 8) \cdot (9 - 6) \cdot (9 - 4)}\]
\[S = \sqrt{9 \cdot 1 \cdot 3 \cdot 5}\]
\[S = \sqrt{135}\]

Ответ: Площадь треугольника ABC равна \(\sqrt{135}\) квадратных сантиметров.

Задание №4:
Нам нужно доказать, что треугольник со сторонами 9, 12 и 15 см является прямоугольным.

Для начала проверим существование такого треугольника с помощью неравенства треугольника. Сумма длин двух сторон треугольника всегда должна быть больше длины третьей стороны. В нашем случае, 9 + 12 = 21, что больше 15, поэтому треугольник может существовать.

Затем, мы можем применить теорему Пифагора, чтобы проверить, является ли треугольник прямоугольным.

Теорема Пифагора гласит:
\[c^2 = a^2 + b^2\]

Подставим известные значения из задания:
\[15^2 = 9^2 + 12^2\]
\[225 = 81 + 144\]
\[225 = 225\]

Уравнение выполняется, что означает, что треугольник является прямоугольным.

Ответ: Треугольник со сторонами 9, 12 и 15 см является прямоугольным.

Задание №5:
Дано, что \(\cos(A) = \frac{3}{7}\).

Зная значение косинуса угла A, мы можем использовать идентичность \(\sin^2(A) + \cos^2(A) = 1\), чтобы найти значение синуса угла A.

Перепишем идентичность, подставив значение косинуса:
\(\sin^2(A) + \left(\frac{3}{7}\right)^2 = 1\)
\(\sin^2(A) + \frac{9}{49} = 1\)
\(\sin^2(A) = 1 - \frac{9}{49}\)
\(\sin^2(A) = \frac{49}{49} - \frac{9}{49}\)
\(\sin^2(A) = \frac{40}{49}\)
\(\sin(A) = \sqrt{\frac{40}{49}}\)
\(\sin(A) = \frac{2\sqrt{10}}{7}\)

Теперь, чтобы найти значение тангенса угла A, мы можем использовать определение тангенса:

\(\tan(A) = \frac{\sin(A)}{\cos(A)}\)
\(\tan(A) = \frac{\frac{2\sqrt{10}}{7}}{\frac{3}{7}}\)
\(\tan(A) = \frac{2\sqrt{10}}{3}\)

Ответ: Значение синуса угла A равно \(\frac{2\sqrt{10}}{7}\), а значение тангенса угла A равно \(\frac{2\sqrt{10}}{3}\).