Яка буде довжина сторони правильного трикутника, який описаний навколо кола, вписаного у квадрат зі стороною 6√2?

Eva

51

Для решения этой задачи, нужно вспомнить некоторые свойства вписанных и описанных фигур и правильных треугольников.

Правильный треугольник имеет все стороны и углы равными между собой.

Вписанный круг — это круг, который касается всех сторон треугольника.

Описанный круг — это круг, который проходит через все вершины треугольника.

Теперь, чтобы решить задачу, мы можем использовать эти свойства.

Поскольку треугольник является правильным, все его стороны равны между собой. Пусть длина стороны треугольника будет \(x\).

Тогда, сторона квадрата \(ABCD\) равна \(6\sqrt{2}\).

Мы можем легко определить радиус вписанного окружности в квадрате. Радиус вписанного окружности равен половине длины стороны квадрата, то есть \(\frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}\).

Также, мы можем определить радиус описанного окружности вокруг треугольника. Радиус описанного окружности равен третьей части высоты треугольника.

Правильный треугольник можно разделить на 3 равных высоты, соединив вершину с центром описанной окружности и одной из вершин треугольника. Тогда, высота треугольника равна \(\frac{x\sqrt{3}}{2}\).

Таким образом, радиус описанного окружности равен \(\frac{x\sqrt{3}}{3}\).

Используя свойства, мы знаем, что радиус описанного окружности равен радиусу вписанного окружности. Поэтому, мы можем записать равенство:

\(\frac{x\sqrt{3}}{3} = 3\sqrt{2}\).

Теперь, решим это уравнение относительно \(x\):

\(\frac{x\sqrt{3}}{3} = 3\sqrt{2}\)

Умножим обе стороны на \(\frac{3}{\sqrt{3}}\):

\(x = 3\sqrt{6}\).

Таким образом, длина стороны правильного треугольника, описанного вокруг вписанного в квадрат с длиной стороны \(6\sqrt{2}\), равна \(3\sqrt{6}\).