Given points A (-3; 1.5; -2) and B (3; -2.5; 2). The segment AB is a diameter of a sphere. а) Write down the equation

Сверкающий_Гном_3930

49

Добро пожаловать! Я рад помочь вам с этой задачей!

а) Для начала, чтобы найти уравнение сферы, определенной диаметром AB, построим векторное уравнение прямой AB. Для этого найдем векторное уравнение прямой, проходящей через две точки A и B.

Векторная форма уравнения прямой: \(\vec{r} = \vec{a} + t(\vec{b} - \vec{a})\), где \(\vec{r}\) - радиус-вектор точки прямой, \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) - радиус-векторы точек A и B соответственно, а \(t\) - параметр.

Используя значения координат точек A и B, получим:

\[
\vec{r} = (-3, 1.5, -2) + t((3, -2.5, 2) - (-3, 1.5, -2))
\]

Упростим:

\[
\vec{r} = (-3, 1.5, -2) + t(6, -4, 4)
\]

Теперь, чтобы найти центр сферы, воспользуемся тем, что центр сферы находится на середине отрезка AB. Найдем среднюю точку отрезка AB, чтобы найти координаты центра сферы.

Средняя точка отрезка AB:

\[
\text{Центр сферы} = \left(\frac{(-3 + 3)}{2}, \frac{(1.5 - 2.5)}{2}, \frac{(-2 + 2)}{2}\right) = \left(0, -0.5, 0\right)
\]

Таким образом, координаты центра сферы: (0, -0.5, 0).

Поскольку AB является диаметром сферы, радиус равен половине длины отрезка AB. Вычислим длину отрезка AB, чтобы найти радиус сферы.

Длина отрезка AB с использованием формулы расстояния между двумя точками:

\[
|AB| = \sqrt{(3 - (-3))^2 + (-2.5 - 1.5)^2 + (2 - (-2))^2} = \sqrt{6^2 + 4^2 + 4^2} = \sqrt{36 + 16 + 16} = \sqrt{68}
\]

Таким образом, радиус сферы: \(r = \frac{\sqrt{68}}{2}\)

Итак, уравнение сферы:

\[
(x - 0)^2 + (y - (-0.5))^2 + (z - 0)^2 = \left(\frac{\sqrt{68}}{2}\right)^2
\]

После упрощения получаем:

\[
x^2 + \left(y + \frac{1}{2}\right)^2 + z^2 = \frac{17}{2}
\]

Ответ: Уравнение сферы: \(x^2 + \left(y + \frac{1}{2}\right)^2 + z^2 = \frac{17}{2}\)

б) Чтобы узнать, принадлежат ли точки (\(\sqrt{7}\), -1.5, 3) и (3, 2.5, 1) сфере, мы можем проверить, удовлетворяют ли их координаты уравнению сферы.

1) Для точки (\(\sqrt{7}\), -1.5, 3):

\[
\left(\sqrt{7}\right)^2 + \left(-1.5 + \frac{1}{2}\right)^2 + 3^2 = 7 + \frac{9}{4} + 9 = \frac{77}{4}
\]

Точка (\(\sqrt{7}\), -1.5, 3) не принадлежит сфере, потому что её координаты не удовлетворяют уравнению сферы.

2) Для точки (3, 2.5, 1):

\[
3^2 + \left(2.5 + \frac{1}{2}\right)^2 + 1^2 = 9 + \frac{49}{4} + 1 = \frac{77}{4}
\]

Точка (3, 2.5, 1) также не принадлежит сфере.

Ответ: Точки (\(\sqrt{7}\), -1.5, 3) и (3, 2.5, 1) не принадлежат сфере.

2) Теперь рассмотрим треугольник, его сторона, противолежащая углу в 60°, равна 3√3. Сначала найдем радиус сферы, зная длину стороны треугольника и угол.

Длина радиуса: \(r = \frac{3\sqrt{3}}{\sin(60°)} = 3\sqrt{3}\cdot2 = 6\sqrt{3}\)

Найдем расстояние от центра сферы до плоскости треугольника, используя формулу расстояния от точки до плоскости.

Формула расстояния от точки (x₀, y₀, z₀) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0: \(d = \frac{|Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}\)

Уравнение плоскости, содержащей треугольник, можно получить, выполнив аналогичные шаги, учитывая, что вершины треугольника принадлежат плоскости и известна длина стороны треугольника.

Ответ: Расстояние от центра сферы до плоскости треугольника составляет \(d\) (где \(d\) - нужно найти значение).
А для более подробного решения и лучшего понимания задачи было бы полезно увидеть диаграмму.