How likely is it that a) one escalator will break down; b) more than one escalator will break down?

Moroznyy_Voin

33

Хорошо, давайте разберемся с этой задачей шаг за шагом.

Предположим, у нас есть \(n\) эскалаторов, и все они работают независимо друг от друга. Теперь давайте посмотрим на каждую часть задачи.

а) Какова вероятность того, что один эскалатор выйдет из строя?
Для ответа на этот вопрос необходимо знать общее количество эскалаторов (\(n\)) и количество из них, которые вышли из строя (\(k\)).

Вероятность того, что один эскалатор выйдет из строя, рассчитывается с помощью формулы Бернулли, которая описывает вероятность успеха в серии независимых испытаний.

\[P(k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\]

Где:
\(C(n, k)\) - комбинаторный коэффициент, который равен количеству способов выбрать \(k\) объектов из \(n\) (это равно \(\frac{n!}{k!(n-k)!}\)).
\(p\) - вероятность, что один эскалатор будет выходить из строя.
\(k\) - количество эскалаторов, которые вышли из строя.

Например, если у нас есть 10 эскалаторов, и каждый из них имеет вероятность 0,01 выйти из строя, мы можем вычислить вероятность, что один эскалатор выйдет из строя:

\[P(1) = C(10, 1) \cdot 0,01^1 \cdot (1-0,01)^{10-1} = 10 \cdot 0,01 \cdot 0,99^9 \approx 0,087\]

Таким образом, вероятность того, что один эскалатор выйдет из строя, составляет приблизительно 0,087, или около 8,7%.

б) Какова вероятность того, что выйдет из строя более одного эскалатора?
Для ответа на этот вопрос нужно рассмотреть вероятность того, что два или более эскалатора выйдут из строя.

\[P(k > 1) = 1 - P(k = 0) - P(k = 1)\]

Где:
\(P(k = 0)\) - вероятность того, что ни один эскалатор не выйдет из строя. Это можно рассчитать, используя формулу Бернулли, где \(k = 0\).
\(P(k = 1)\) - вероятность того, что ровно один эскалатор выйдет из строя. Это мы уже посчитали в предыдущем ответе.

Используя значения из предыдущего примера, мы можем рассчитать вероятность того, что более одного эскалатора выйдет из строя:

\[P(k > 1) = 1 - P(k = 0) - P(k = 1) = 1 - (C(10, 0) \cdot 0,01^0 \cdot (1-0,01)^{10-0}) - 0,087 \approx 0,713\]

Таким образом, вероятность того, что более одного эскалатора выйдет из строя, составляет приблизительно 0,713, или около 71,3%.

Надеюсь, что эта пошаговая информация помогла вам понять, как решить данную задачу.