Имеется система m линейных уравнений с n неизвестными. Предположим, что ранг матрицы этой системы равен k, а ранг
Имеется система m линейных уравнений с n неизвестными. Предположим, что ранг матрицы этой системы равен k, а ранг расширенной матрицы системы равен p. Какие утверждения верны: а) если количество неизвестных n больше, чем количество уравнений m, то система имеет по крайней мере одно решение; б) если количество уравнений m больше, чем количество неизвестных n, то система не имеет решений; в) если система имеет по крайней мере одно решение, то p равно k; г) если p равно k и количество неизвестных n больше k, то система имеет бесконечное количество решений.
Змея_6752 21
Предположим, у нас есть система m линейных уравнений с n неизвестными. Ранг матрицы этой системы равен k, а ранг расширенной матрицы системы равен p.Решим каждое утверждение поочередно:
а) Утверждение: если количество неизвестных n больше, чем количество уравнений m, то система имеет по крайней мере одно решение.
Это утверждение верно. Если количество неизвестных больше, чем количество уравнений, это означает, что в системе есть больше переменных, чем ограничений. В таких случаях система может иметь бесконечное количество решений или одно особое решение. Таким образом, система всегда будет иметь решение.
б) Утверждение: если количество уравнений m больше, чем количество неизвестных n, то система не имеет решений.
Это утверждение неверно. Если количество уравнений больше, чем количество неизвестных, это означает, что в системе имеется больше ограничений, чем переменных. Такие системы называются переопределенными системами уравнений и могут не иметь решений или иметь одно особое решение. Таким образом, система может иметь как решения, так и не иметь их.
в) Утверждение: если система имеет по крайней мере одно решение, то p равно k.
Это утверждение верно. Ранг матрицы системы соответствует количеству линейно независимых уравнений в системе, а ранг расширенной матрицы отражает количество линейно независимых уравнений, включая уравнение расширенной матрицы. Если система имеет по крайней мере одно решение, это означает, что все уравнения линейно зависимы, и, следовательно, p равно k.
г) Утверждение: если p равно k и количество неизвестных n больше k, то система имеет бесконечное количество решений.
Это утверждение верно. Если количество неизвестных больше, чем ранг матрицы системы, то система будет иметь свободные переменные и, следовательно, бесконечное количество решений.
В итоге, верными утверждениями являются: а) если количество неизвестных n больше, чем количество уравнений m, то система имеет по крайней мере одно решение; в) если система имеет по крайней мере одно решение, то p равно k; г) если p равно k и количество неизвестных n больше k, то система имеет бесконечное количество решений.