Имеются точки A(4; 0), B(12; -2) и C(5; -9). Найдите следующие параметры для треугольника ABC: 1) Периметр

Южанка

40

Шаг 1: Найдем расстояние между точками A и B. Для этого воспользуемся формулой расстояния между двумя точками на плоскости:

\[d_{AB} = \sqrt{{(x_2 - x_1)}^2 + {(y_2 - y_1)}^2}\]

Где (x1, y1) и (x2, y2) - координаты точек A и B соответственно.

\[d_{AB} = \sqrt{{(12 - 4)}^2 + {(-2 - 0)}^2}\]
\[d_{AB} = \sqrt{{8}^2 + {(-2)}^2}\]
\[d_{AB} = \sqrt{64 + 4}\]
\[d_{AB} = \sqrt{68}\]

Шаг 2: Найдем расстояние между точками A и C, используя ту же формулу:

\[d_{AC} = \sqrt{{(x_2 - x_1)}^2 + {(y_2 - y_1)}^2}\]

\[d_{AC} = \sqrt{{(5 - 4)}^2 + {(-9 - 0)}^2}\]
\[d_{AC} = \sqrt{{1}^2 + {(-9)}^2}\]
\[d_{AC} = \sqrt{1 + 81}\]
\[d_{AC} = \sqrt{82}\]

Шаг 3: Найдем расстояние между точками B и C, снова используя формулу:

\[d_{BC} = \sqrt{{(x_2 - x_1)}^2 + {(y_2 - y_1)}^2}\]

\[d_{BC} = \sqrt{{(5 - 12)}^2 + {(-9 - (-2))}^2}\]
\[d_{BC} = \sqrt{{(-7)}^2 + {(-7)}^2}\]
\[d_{BC} = \sqrt{49 + 49}\]
\[d_{BC} = \sqrt{98}\]

Шаг 4: Теперь, чтобы найти периметр треугольника ABC, нужно просуммировать длины всех его сторон:

\[P = d_{AB} + d_{AC} + d_{BC}\]
\[P = \sqrt{68} + \sqrt{82} + \sqrt{98}\]

Шаг 5: Для нахождения длины медианы AN мы можем воспользоваться формулой для нахождения длины медианы, которая равна половине длины соответствующей стороны треугольника:

\[AN = \frac{d_{BC}}{2}\]
\[AN = \frac{\sqrt{98}}{2}\]
\[AN = \frac{\sqrt{2 \times 49}}{2}\]
\[AN = \frac{7\sqrt{2}}{2}\]

Шаг 6: Наконец, чтобы найти координаты центра описанной окружности и ее радиус, мы должны сначала найти середину стороны треугольника. Для этого просто найдем среднее значение x-координат и y-координат точек A, B и C:

\[x_{center} = \frac{x_A + x_B + x_C}{3}\]
\[x_{center} = \frac{4 + 12 + 5}{3}\]
\[x_{center} = \frac{21}{3}\]
\[x_{center} = 7\]

\[y_{center} = \frac{y_A + y_B + y_C}{3}\]
\[y_{center} = \frac{0 + (-2) + (-9)}{3}\]
\[y_{center} = \frac{-11}{3}\]

Теперь, когда у нас есть координаты центра, мы можем найти радиус окружности, которая равна расстоянию между центром и любой вершиной треугольника. Для этого воспользуемся формулой:

\[R = \sqrt{{(x - x_{center})}^2 + {(y - y_{center})}^2}\]

Выберем точку A для расчета радиуса:

\[R = \sqrt{{(4 - 7)}^2 + {(0 - (-\frac{11}{3}))}^2}\]
\[R = \sqrt{{(-3)}^2 + {(\frac{11}{3})}^2}\]
\[R = \sqrt{9 + \frac{121}{9}}\]
\[R = \sqrt{\frac{81 + 121}{9}}\]
\[R = \sqrt{\frac{202}{9}}\]
\[R = \frac{\sqrt{202}}{3}\]

Ответ:
1) Периметр треугольника ABC: \(\sqrt{68} + \sqrt{82} + \sqrt{98}\)
2) Длина медианы AN: \(\frac{7\sqrt{2}}{2}\)
3) Координаты центра описанной окружности: (7, -\(\frac{11}{3}\))
Радиус описанной окружности: \(\frac{\sqrt{202}}{3}\)