Is it possible to rewrite the expression tg3a/tg^2 3a-1 * 1-ctg^2 3a/ctg3a so that it equals

Magicheskiy_Kristall_3385

47

Да, конечно! Давайте перепишем выражение и упростим его.

Итак, у нас есть выражение \(\frac{{\text{{tg}}^3 a}}{{\text{{tg}}^2 3a-1}} \cdot \frac{{1 - \text{{ctg}}^2 3a}}{{\text{{ctg}}3a}}\).

Для начала упростим числитель первой дроби. Мы знаем, что \(\text{{tg}}^2 x = \frac{{\sin^2 x}}{{\cos^2 x}}\). Воспользуемся этим знанием и перепишем числитель:

\(\text{{tg}}^3 a = \frac{{\sin^3 a}}{{\cos^3 a}} = \left(\frac{{\sin a}}{{\cos a}}\right)^3 = (\text{{tg}} a)^3\).

Затем перепишем знаменатель первой дроби:

\(\text{{tg}}^2 3a-1 = \left(\frac{{\sin 3a-1}}{{\cos 3a-1}}\right)^2\).

Мы также можем упростить вторую дробь. Заметим, что \(\text{{ctg}}^2 x = \frac{{\cos^2 x}}{{\sin^2 x}}\). Используя это, получаем:

\(\text{{ctg}}^2 3a = \frac{{\cos^2 3a}}{{\sin^2 3a}}\).

Теперь давайте перепишем исходное выражение с учетом наших упрощений:

\(\frac{{(\text{{tg}} a)^3}}{{\left(\frac{{\sin 3a-1}}{{\cos 3a-1}}\right)^2}} \cdot \frac{{1 - \frac{{\cos^2 3a}}{{\sin^2 3a}}}}{{\text{{ctg}}3a}}\).

Когда мы умножаем дроби, мы можем применять алгебраические операции к числителям и знаменателям отдельно. Давайте это сделаем.

Умножим числители:

\((\text{{tg}} a)^3 \cdot (1 - \frac{{\cos^2 3a}}{{\sin^2 3a}})\).

В числителе теперь нужно раскрыть скобки. Если есть возможность, я предпочитаю раскрывать скобки последовательно, чтобы избежать ошибок:

\((\text{{tg}} a)^3 - (\text{{tg}} a)^3 \cdot \frac{{\cos^2 3a}}{{\sin^2 3a}}\).

Теперь упростим второе слагаемое:

\((\text{{tg}} a)^3 \cdot \frac{{1 - \cos^2 3a}}{{\sin^2 3a}}\).

Формула тригонометрии \(1 - \cos^2 x = \sin^2 x\) позволяет нам дальше сократить эту дробь:

\((\text{{tg}} a)^3 \cdot \frac{{\sin^2 3a}}{{\sin^2 3a}} = (\text{{tg}} a)^3 \cdot 1 = (\text{{tg}} a)^3\).

Теперь у нас осталось выражение:

\(\frac{{(\text{{tg}} a)^3}}{{\left(\frac{{\sin 3a-1}}{{\cos 3a-1}}\right)^2}} \cdot \frac{{(\text{{tg}} a)^3}}{{\text{{ctg}}3a}}\).

Воспользуемся свойством квадрата дроби: \(\left(\frac{{a}}{{b}}\right)^2 = \frac{{a^2}}{{b^2}}\). Применим это к знаменателю первой дроби:

\(\frac{{(\text{{tg}} a)^3}}{{\frac{{\sin^2 3a-1}}{{\cos^2 3a-1}}}} \cdot \frac{{(\text{{tg}} a)^3}}{{\text{{ctg}}3a}}\).

Теперь у нас есть две дроби, которые нужно перемножить. Мы можем это сделать, записав числители в одну дробь и знаменатели в другую:

\(\frac{{(\text{{tg}} a)^3 \cdot (\text{{tg}} a)^3}}{{\frac{{\sin^2 3a-1}}{{\cos^2 3a-1}} \cdot \text{{ctg}}3a}}\).

В числителе перемножаем степени и получаем \((\text{{tg}} a)^6\).

В знаменателе перемножаем дроби:

\(\frac{{\sin^2 3a-1}}{{\cos^2 3a-1}} \cdot \text{{ctg}}3a\).

Теперь у нас осталось выражение:

\(\frac{{(\text{{tg}} a)^6}}{{\frac{{\sin^2 3a-1}}{{\cos^2 3a-1}} \cdot \text{{ctg}}3a}}\).

Для дальнейшего упрощения нам понадобится знание формулы тригонометрии \(\sin^2 x - 1 = -\cos^2 x\), которую мы можем использовать для подстановки в числитель:

\(\frac{{(\text{{tg}} a)^6}}{{-\cos^2 3a \cdot \text{{ctg}}3a}}\).

Формула \(\text{{ctg}} x = \frac{{\cos x}}{{\sin x}}\) позволяет упростить выражение:

\(-\cos^2 3a \cdot \text{{ctg}}3a = -\frac{{\cos^3 3a}}{{\sin 3a}}\).

Теперь наше выражение стало:

\(\frac{{(\text{{tg}} a)^6}}{{-\frac{{\cos^3 3a}}{{\sin 3a}}}}\).

Мы можем переписать знаменатель, обратив дробь:

\(\frac{{(\text{{tg}} a)^6}}{{\frac{{\sin 3a}}{{\cos^3 3a}}}}\).

Итак, мы переписали и упростили исходное выражение:

\(\frac{{(\text{{tg}} a)^6}}{{\frac{{\sin 3a}}{{\cos^3 3a}}}}\).

Я надеюсь, что этот подробный и обстоятельный ответ помог вам разобраться с задачей! Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать их.