Is it possible to rewrite the following equation without using logarithms? log3(-cosx)+log1/3(-sinx)=-1/2

Петр

57

Конечно, я могу помочь вам переписать данное уравнение без использования логарифмов.

Начнем с уравнения:
\(\log_3(-\cos x) + \log_{\frac{1}{3}}(-\sin x) = -\frac{1}{2}\)

Для переписывания данного уравнения без использования логарифмов, мы можем применить свойство логарифма суммы:

\(\log_a(b) + \log_a(c) = \log_a(bc)\)

Используя это свойство, мы можем переписать уравнение следующим образом:

\(\log_3((- \cos x) \cdot (- \sin x)) = -\frac{1}{2}\)

Так как произведение двух отрицательных чисел даёт положительное число, получим:

\(\log_3(\cos x \cdot \sin x) = -\frac{1}{2}\)

Теперь мы можем переписать логарифм в экспоненциальной форме:

\(3^{-\frac{1}{2}} = \cos x \cdot \sin x\)

Дальнейшее упрощение уравнения позволит нам найти значения переменной \(x\). Для этого можно возвести обе части уравнения в квадрат:

\((3^{-\frac{1}{2}})^2 = (\cos x \cdot \sin x)^2\)

\(\frac{1}{3} = \cos^2 x \cdot \sin^2 x\)

Мы знаем, что \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\), поэтому можем заменить выражение \(\cos^2 x\) в уравнении:

\(\frac{1}{3} = (1 - \sin^2 x) \cdot \sin^2 x\)

\(\frac{1}{3} = \sin^2 x - \sin^4 x\)

Теперь мы получили квадратное уравнение относительно переменной \(\sin x\):

\(\sin^4 x - \sin^2 x + \frac{1}{3} = 0\)

Мы можем решить это уравнение используя замену переменной. Пусть \(t = \sin^2 x\), тогда заменим переменную:

\(t^2 - t + \frac{1}{3} = 0\)

Для решения данного квадратного уравнения, можно использовать формулу дискриминанта:

\(D = b^2 - 4ac\)

В данном уравнении \(a = 1\), \(b = -1\), \(c = \frac{1}{3}\). Подставив в формулу, получаем:

\(D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot \frac{1}{3} = 1 - \frac{4}{3} = -\frac{1}{3}\)

Так как дискриминант \(D\) меньше нуля, уравнение не имеет рациональных корней. Значит, решений нет в области вещественных чисел.

В данном случае, переписать уравнение без использования логарифмов не позволяет исходное уравнение. Уравнение \(\log_3(-\cos x) + \log_{\frac{1}{3}}(-\sin x) = -\frac{1}{2}\) будет иметь решение только через логарифмы.