Исходные данные: сообщения {х1 , х2, х3 , х4 }источника, заданного распределением вероятностей {Р1, Р2

Южанин

10

Хорошо, давайте решим поставленные задачи.

1. Для решения первой задачи нам необходимо вычислить вероятность появления единицы в первой позиции кодового слова, если во второй позиции появилась единица.

По условию задачи, исходные данные заданы распределением вероятностей: {Р1, Р2, Р3, Р4} = {0,2 + 0,005*N, 0,3 - 0,005*N, 0,1 + 0,01*N}.

Также, нам известно, что кодируются словами: {00, 01, 10, 11}.

Теперь посмотрим на возможность появления единицы в первой позиции кодового слова при условии, что во второй позиции появилась единица.

Всего у нас есть два таких случая: (01) и (11).

Так как вероятность появления единицы во второй позиции кодового слова нам неизвестна, будем обозначать ее как P(1 во второй позиции).

Вероятность появления единицы в первой позиции кодового слова, если во второй позиции появилась единица, можно вычислить с использованием формулы условной вероятности:

\[ P(1 в первой позиции | 1 во второй позиции) = \frac{{P(1 в первой позиции и 1 во второй позиции)}}{{P(1 во второй позиции)}} \]

Вероятность появления единицы в первой позиции и 1 во второй позиции равна P3 (вероятность появления кодового слова 10) и равна 0,1 + 0,01*N, согласно исходным данным.

Вероятность появления единицы во второй позиции, P(1 во второй позиции), равна сумме вероятностей всех кодовых слов, содержащих 1 во второй позиции:

\[ P(1 во второй позиции) = P2 + P4 = (0,3 - 0,005*N) + (0,1 + 0,01*N) \]

Таким образом, итоговая формула для вычисления вероятности появления единицы в первой позиции кодового слова, если во второй позиции появилась единица, будет выглядеть следующим образом:

\[ P(1 в первой позиции | 1 во второй позиции) = \frac{{P3}}{{P2 + P4}} = \frac{{0,1 + 0,01*N}}{{(0,3 - 0,005*N) + (0,1 + 0,01*N)}} \]

2. Для решения второй задачи нам нужно найти вероятность появления нуля во второй позиции кодового слова, если в первой позиции появился нуль.

Используем аналогичную формулу условной вероятности:

\[ P(0 во второй позиции | 0 в первой позиции) = \frac{{P(0 во второй позиции и 0 в первой позиции)}}{{P(0 в первой позиции)}} \]

Вероятность появления нуля в первой позиции и 0 во второй позиции равна P1 (вероятность появления кодового слова 00) и равна 0,2 + 0,005*N, согласно исходным данным.

Вероятность появления нуля в первой позиции, P(0 в первой позиции), можно вычислить как сумму вероятностей всех кодовых слов, содержащих 0 в первой позиции:

\[ P(0 в первой позиции) = P1 + P2 = (0,2 + 0,005*N) + (0,3 - 0,005*N) \]

Таким образом, итоговая формула для вычисления вероятности появления нуля во второй позиции кодового слова, если в первой позиции появился нуль, будет выглядеть следующим образом:

\[ P(0 во второй позиции | 0 в первой позиции) = \frac{{P1}}{{P1 + P2}} = \frac{{0,2 + 0,005*N}}{{(0,2 + 0,005*N) + (0,3 - 0,005*N)}} \]

3. Наконец, для решения третьей задачи мы должны определить вероятность появления сообщения, если в первой позиции кодового слова появился нуль.

Сообщение закодировано кодовыми словами: {00, 01, 10, 11}, каждому из которых соответствуют вероятности появления, заданные исходными данными: {P1, P2, P3, P4}.

Вероятность появления сообщения при условии, что в первой позиции кодового слова появился нуль, можно рассчитать с использованием формулы полной вероятности:

\[ P(сообщение | 0 в первой позиции) = \frac{{P(0 в первой позиции | сообщение) \cdot P(сообщение)}}{{P(0 в первой позиции)}} \]

Применим формулу в нашем случае:

\[ P(сообщение | 0 в первой позиции) = \frac{{P1 \cdot P(сообщение)}}{{P1 + P2}} = \frac{{(0,2 + 0,005*N) \cdot P(сообщение)}}{{(0,2 + 0,005*N) + (0,3 - 0,005*N)}} \]

Помните, что в данном случае мы предполагаем, что вероятность появления нуля в первой позиции кодового слова известна и равна 1.

Надеюсь, эти подробные и обоснованные ответы помогут вам лучше понять задачи и их решение. Я всегда готов помочь!