Из группы из 16 депутатов, 12 поддерживают правительственную программу. Далее, из этой группы троих человек выбирают

Звездопад_В_Космосе

69

Для решения данной задачи вам потребуется применить комбинаторику и теорию вероятностей.

Первый этап - составление закона распределения количества депутатов, поддерживающих программу, в данной выборке.

Изначально вам известно, что из группы из 16 депутатов 12 поддерживают правительственную программу. Рассмотрим возможные варианты, сколько из них могут быть выбраны в данной выборке.

Для того чтобы выбрать 3 депутатов наудачу из группы из 16, можно использовать комбинаторный метод. Формула для определения количества сочетаний \( C_n^k \) гласит:

\[ C_n^k = \frac{{n!}}{{k! \cdot (n-k)!}} \]

Где \( n \) - общее количество элементов (в данном случае депутатов), а \( k \) - количество выбираемых элементов (в данном случае 3 депутата).

Применяя данную формулу, мы можем вычислить количество способов выбрать 3 депутатов из группы из 16.

\[ C_{16}^3 = \frac{{16!}}{{3! \cdot (16-3)!}} = \frac{{16!}}{{3! \cdot 13!}} = 560 \]

Затем нужно определить для каждого варианта, сколько депутатов из выбранной тройки поддерживают правительственную программу. Возможные варианты будут от 0 до 3 депутатов.

Если выбраны 0 депутатов, то вероятность этого события равна количеству сочетаний выбрать 0 из 12 (т.е. все 3 депутата не поддерживают программу) и 3 из 4 (необходимо выбрать 3 депутата, которые не поддерживают программу, из группы из 16-12=4 депутатов, которые не поддерживают программу):

\[ C_{12}^0 \cdot C_{4}^3 = 1 \cdot 4 = 4 \]

Если выбран 1 депутат, то вероятность этого события равна количеству сочетаний выбрать 1 из 12 (т.е. 1 депутат поддерживает программу) и 2 из 4 (необходимо выбрать 2 депутата, которые не поддерживают программу, из оставшихся 4):

\[ C_{12}^1 \cdot C_{4}^2 = 12 \cdot 6 = 72 \]

Если выбраны 2 депутата, то вероятность этого события равна количеству сочетаний выбрать 2 из 12 (т.е. 2 депутата поддерживают программу) и 1 из 4 (необходимо выбрать 1 депутата, который не поддерживает программу, из оставшихся 4):

\[ C_{12}^2 \cdot C_{4}^1 = 66 \cdot 4 = 264 \]

Если выбраны 3 депутата, то вероятность этого события равна количеству сочетаний выбрать 3 из 12 (т.е. все 3 депутата поддерживают программу) и 0 из 4 (количество сочетаний нуля из нуля равно 1):

\[ C_{12}^3 \cdot C_{4}^0 = 220 \cdot 1 = 220 \]

Таким образом, закон распределения количества депутатов, поддерживающих программу, в данной выборке будет выглядеть следующим образом:

\[ P(0) = \frac{{C_{12}^0 \cdot C_{4}^3}}{{C_{16}^3}} = \frac{{4}}{{560}} \]

\[ P(1) = \frac{{C_{12}^1 \cdot C_{4}^2}}{{C_{16}^3}} = \frac{{72}}{{560}} \]

\[ P(2) = \frac{{C_{12}^2 \cdot C_{4}^1}}{{C_{16}^3}} = \frac{{264}}{{560}} \]

\[ P(3) = \frac{{C_{12}^3 \cdot C_{4}^0}}{{C_{16}^3}} = \frac{{220}}{{560}} \]

Второй этап - нахождение числовых параметров этого распределения.

Для нахождения числовых параметров распределения, вам потребуются математическое ожидание и дисперсия.

Математическое ожидание - это среднее значение случайной величины \(X\) для данного распределения, и определяется следующим образом:

\[ E(X) = \sum_{i=0}^{3} X_i \cdot P(X_i) \]

Где \(X_i\) - количество депутатов, поддерживающих программу, а \(P(X_i)\) - вероятность данного количества депутатов.

Подставив значения из распределения, получим:

\[ E(X) = 0 \cdot \frac{{4}}{{560}} + 1 \cdot \frac{{72}}{{560}} + 2 \cdot \frac{{264}}{{560}} + 3 \cdot \frac{{220}}{{560}} \]

\[ E(X) = \frac{{180}}{{560}} = \frac{{45}}{{140}} \]

Таким образом, математическое ожидание \(E(X)\) равно \(\frac{{45}}{{140}}\).

Дисперсия - это мера разброса случайной величины \(X\) относительно ее математического ожидания, и определяется следующим образом:

\[ Var(X) = E((X - E(X))^2) \]

Подставив значения, получим:

\[ Var(X) = (0 - \frac{{45}}{{140}})^2 \cdot \frac{{4}}{{560}} + (1 - \frac{{45}}{{140}})^2 \cdot \frac{{72}}{{560}} + (2 - \frac{{45}}{{140}})^2 \cdot \frac{{264}}{{560}} + (3 - \frac{{45}}{{140}})^2 \cdot \frac{{220}}{{560}} \]

\[ Var(X) = \frac{{45^2}}{{140^2}} \cdot \left( \frac{{4}}{{560}} + \frac{{72}}{{560}} \cdot \left(1 - \frac{{45}}{{140}}\right)^2 + \frac{{264}}{{560}} \cdot \left(2 - \frac{{45}}{{140}}\right)^2 + \frac{{220}}{{560}} \cdot \left(3 - \frac{{45}}{{140}}\right)^2 \right) \]

\[ Var(X) \approx \frac{{1224}}{{6860}} \]

Таким образом, дисперсия \(Var(X)\) примерно равна \(\frac{{1224}}{{6860}}\).

Полученные числовые параметры позволяют оценить среднее значение и разброс количества депутатов, поддерживающих программу, в выборке.