Найти значения m и n при которых две прямые mx+8y+n=0, 2x+my-1=0: а) параллельны б) совпадают в) перпендикулярны

Milaya

39

Для начала давайте разберемся со случаем, когда две прямые параллельны.

Для того чтобы две прямые были параллельными, их угловые коэффициенты должны быть равными. Угловой коэффициент прямой определяется как отношение коэффициента при \(x\) к коэффициенту при \(y\).

Итак, у первой прямой \(mx+8y+n=0\) коэффициент при \(x\) равен \(m\), а коэффициент при \(y\) равен 8. Таким образом, угловой коэффициент первой прямой равен \(\frac{m}{8}\).

По тому же принципу, у второй прямой \(2x+my-1=0\) коэффициент при \(x\) равен 2, а коэффициент при \(y\) равен \(m\). Таким образом, угловой коэффициент второй прямой равен \(\frac{2}{m}\).

Теперь, чтобы две прямые были параллельными, их угловые коэффициенты должны быть равными. То есть \(\frac{m}{8} = \frac{2}{m}\).

Чтобы решить это уравнение относительно \(m\), умножим обе стороны на \(8m\):

\[m^2 = 16\]

Теперь найдем значения \(m\). Найденные значения \(m\) будут значениями, при которых две прямые параллельны.

\[
m = \pm 4
\]

При \(m = 4\) угловой коэффициент первой прямой будет равен \(\frac{4}{8} = \frac{1}{2}\), а угловой коэффициент второй прямой будет равен \(\frac{2}{4} = \frac{1}{2}\). Таким образом, при \(m = 4\) прямые будут параллельными.

При \(m = -4\) угловой коэффициент первой прямой будет равен \(\frac{-4}{8} = -\frac{1}{2}\), а угловой коэффициент второй прямой будет равен \(\frac{2}{-4} = -\frac{1}{2}\). Таким образом, при \(m = -4\) прямые также будут параллельными.

Давайте теперь рассмотрим случай, когда две прямые совпадают.

Для того чтобы две прямые совпадали, их угловые коэффициенты должны быть равными, а свободные члены должны быть пропорциональны.

У нас уже есть уравнения прямых:

\[mx+8y+n=0\]
\[2x+my-1=0\]

Сначала сосчитаем угловые коэффициенты прямых: \(\frac{m}{8}\) и \(\frac{2}{m}\).

Теперь найдем свободные члены у уравнений. У первой прямой свободный член равен \(n\), а у второй - \(-1\).

Чтобы две прямые совпадали, их свободные члены должны быть пропорциональны своими угловыми коэффициентами. То есть:

\(\frac{n}{-1} = \frac{m}{8}\)

Для решения этого уравнения надо домножить обе его стороны на \(-8\):

\[8n = -m\]

Таким образом, значения \(m\) и \(n\), при которых две прямые совпадают, определяются уравнением \(8n = -m\).

Давайте рассмотрим последний случай, когда две прямые перпендикулярны.

Перпендикулярные прямые имеют угловые коэффициенты, являющиеся отрицательными обратными значениями.

У нас есть уравнения прямых:

\[mx+8y+n=0\]
\[2x+my-1=0\]

Найдем угловые коэффициенты прямых: \(\frac{m}{8}\) и \(\frac{2}{m}\).

Чтобы две прямые были перпендикулярны, их угловые коэффициенты должны быть отрицательными обратными значениями. То есть:

\(\frac{m}{8} = -\frac{1}{\frac{2}{m}}\)

Для решения этого уравнения надо умножить его левую и правую части на \(\frac{m}{1}\):

\[m^2 = -16\]

Таким образом, значения \(m\) и \(n\), при которых две прямые перпендикулярны, определяются уравнением \(m^2 = -16\).

Очень важно отметить, что в данном примере нам не нужно знать конкретное значение \(n\) для каждого случая. У нас есть только условие для значения \(m\) при каждом случае.