Из каких элементов состоит базис множества решений однородного уравнения х1+2х2+3х3+х4=0?

Viktorovna_4766

60

Для начала, давайте рассмотрим само однородное уравнение \(x_1 + 2x_2 + 3x_3 + x_4 = 0\). Однородное уравнение означает, что правая часть равна нулю.

Чтобы найти базис множества решений этого уравнения, мы должны решить его и выразить все переменные через свободные переменные. Для этого добавим переменные \(x_5\) и \(x_6\) к нашему уравнению, чтобы получить следующую систему линейных уравнений:

\[
\begin{align*}
x_1 + 2x_2 + 3x_3 + x_4 &= 0, \\
x_5 &= a, \\
x_6 &= b,
\end{align*}
\]

где \(a\) и \(b\) - произвольные константы.

Теперь, решим эту систему уравнений методом Гаусса:

\[
\begin{align*}
\begin{array}{ccccc|c}
1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & a \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & b \\
\end{array}
\end{align*}
\]

Уже видно, что у нас есть три свободные переменные \(x_4\), \(x_5\) и \(x_6\), а остальные переменные \(x_1\), \(x_2\) и \(x_3\) можно выразить через эти свободные переменные.

Таким образом, базис множества решений однородного уравнения будет содержать три элемента, соответствующих этим свободным переменным \(x_4\), \(x_5\) и \(x_6\). В общем виде базис можно представить как:

\[
\begin{align*}
\text{Базис} = \{
\begin{pmatrix} -2x_2 - 3x_3 - x_4 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix},
\begin{pmatrix} -2x_2 - 3x_3 \\ x_2 \\ x_3 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix},
\begin{pmatrix} -2x_2 - 3x_3 \\ x_2 \\ x_3 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}
\}
\end{align*}
\]

Таким образом, базис множества решений однородного уравнения \(x_1 + 2x_2 + 3x_3 + x_4 = 0\) состоит из трех элементов.