Из каких элементов состоит базис множества решений однородного уравнения х1+2х2+3х3+х4=0?

Viktorovna_4766

60

Для начала, давайте рассмотрим само однородное уравнение $x_1+2x_2+3x_3+x_4=0$. Однородное уравнение означает, что правая часть равна нулю.

Чтобы найти базис множества решений этого уравнения, мы должны решить его и выразить все переменные через свободные переменные. Для этого добавим переменные $x_5$ и $x_6$ к нашему уравнению, чтобы получить следующую систему линейных уравнений:

$$\begin{array}{rl}{x}_1+2x_2+3x_3+x_4& =0,\\ x_5& =a,\\ x_6& =b,\end{array}$$

где $a$ и $b$ - произвольные константы.

Теперь, решим эту систему уравнений методом Гаусса:

$$\begin{array}{r}\begin{array}{cccccc}1& 2& 3& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1& a\\ 0& 0& 0& 0& 0& b\end{array}\end{array}$$

Уже видно, что у нас есть три свободные переменные $x_4$, $x_5$ и $x_6$, а остальные переменные $x_1$, $x_2$ и $x_3$ можно выразить через эти свободные переменные.

Таким образом, базис множества решений однородного уравнения будет содержать три элемента, соответствующих этим свободным переменным $x_4$, $x_5$ и $x_6$. В общем виде базис можно представить как:

$$\begin{array}{r}\text{Базис}=\{\left(\begin{array}{c}-2x_2-3x_3-x_4\\ x_2\\ x_3\\ x_4\\ 0\\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}-2x_2-3x_3\\ x_2\\ x_3\\ 0\\ 1\\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}-2x_2-3x_3\\ x_2\\ x_3\\ 0\\ 0\\ 1\end{array}\right)\}\end{array}$$

Таким образом, базис множества решений однородного уравнения $x_1+2x_2+3x_3+x_4=0$ состоит из трех элементов.