Из точки О, находящейся вне двух параллельных плоскостей α и β, проведены три луча, пересекающие плоскости α

Yakobin

14

Итак, давайте решим эту задачу по шагам.

1. Для начала обозначим отрезки: \(OA = m\), \(AA_1 = n\), \(AB = p\), \(BC = q\), \(CA = r\).
2. Так как лучи \(OA\), \(OB\) и \(OC\) пересекают плоскость \(\alpha\) в точках \(A\), \(B\) и \(C\) соответственно, то треугольник \(ABC\) является сечением плоскости \(\alpha\) плоскостью \(\beta\). Точно так же треугольник \(A_1B_1C_1\) является сечением плоскости \(\alpha\) плоскостью \(\beta\).
3. Так как плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) параллельны, то треугольники \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\) подобны.
4. Из подобия треугольников следует, что отношение длин сторон одного треугольника к другому одинаково. То есть:

\[
\frac{AA_1}{OA} = \frac{BB_1}{OB} = \frac{CC_1}{OC}
\]

5. Теперь найдем длины отрезков \(AA_1\), \(BB_1\) и \(CC_1\).

\[
AA_1 = OA + n
\]

\[
BB_1 = OB + p
\]

\[
CC_1 = OC + q
\]

6. Так как \(OA = m\), \(OB = m + p\), \(OC = m + p + q\), подставим это обратно в формулы:

\[
AA_1 = m + n
\]

\[
BB_1 = m + p + p = m + 2p
\]

\[
CC_1 = m + p + q + q = m + 2p + 2q
\]

7. Теперь находим периметр треугольника \(A_1B_1C_1\):

\[
\text{Периметр} = AA_1 + BB_1 + CC_1 = (m + n) + (m + 2p) + (m + 2p + 2q) = 3m + 2p + 2q + n
\]

Таким образом, периметр треугольника \(A_1B_1C_1\) составляет \(3m + 2p + 2q + n\).