Изменится ли и каким образом частота электромагнитных колебаний в колебательном контуре, если индуктивность катушки

Magicheskiy_Troll

39

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать формулу для расчета частоты колебаний в колебательном контуре:

\[f = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}\]

где \(f\) - частота колебаний, \(L\) - индуктивность катушки, \(C\) - емкость конденсатора.

Для нашего случая, изначальная индуктивность \(L_1\) равна 36 мГн, а новая индуктивность \(L_2\) равна 4 мГн. Мы хотим найти, изменится ли частота колебаний и во сколько раз.

Сначала, давайте найдем первоначальную частоту колебаний \(f_1\) с использованием исходной индуктивности \(L_1\):

\[f_1 = \frac{1}{2\pi\sqrt{L_1C}}\]

Теперь, найдем новую частоту колебаний \(f_2\) с использованием новой индуктивности \(L_2\):

\[f_2 = \frac{1}{2\pi\sqrt{L_2C}}\]

Теперь, чтобы найти изменение в частоте колебаний, посчитаем отношение новой частоты к первоначальной:

\[\frac{f_2}{f_1} = \frac{\frac{1}{2\pi\sqrt{L_2C}}}{\frac{1}{2\pi\sqrt{L_1C}}} = \frac{\sqrt{L_1}}{\sqrt{L_2}}\]

Подставим значения индуктивностей \(L_1 = 36 \, \text{мГн}\) и \(L_2 = 4 \, \text{мГн}\):

\[\frac{f_2}{f_1} = \frac{\sqrt{36}}{\sqrt{4}} = \frac{6}{2} = 3\]

Таким образом, частота колебаний изменится в 3 раза при уменьшении индуктивности катушки с 36 мГн до 4 мГн.

Чтобы убедиться в правильности решения, давайте проверим изменение частоты колебаний при других значениях индуктивности. Например, если индуктивность уменьшится еще вдвое с 4 мГн до 2 мГн, то:

\[\frac{f_3}{f_2} = \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{2}} = \frac{2}{1.414} \approx 1.414\]

Здесь мы видим, что при уменьшении индуктивности вдвое изменение частоты колебаний составляет примерно 1.414 раза, что подтверждает верность нашего решения.