Известно, что основанием прямой призмы является параллелограмм со сторонами 6 см и 8 см и углом между ними равным

Киска_3315

45

Для начала определим основание параллелограмма. У нас есть две стороны, известные длины которых равны 6 см и 8 см. Так как угол между ними составляет 30 градусов, нам нужно найти третью сторону через теорему косинусов.

Теорема косинусов формулируется следующим образом: в любом треугольнике квадрат одной из сторон равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих двух сторон на косинус угла между ними.

В нашем случае третья сторона параллелограмма (пусть её длина равна а, в сантиметрах), 8^2 = 6^2 + а^2 - 2 * 6 * а * cos(30°).

Теперь решим полученное уравнение для а:

64 = 36 + а^2 - 12а * cos(30°).

Выразим а^2:

а^2 = 64 - 36 - 12а * cos(30°).

а^2 = 28 - 12а * cos(30°).

Теперь найдем cos(30°). Для этого воспользуемся таблицей тригонометрических значений:

cos(30°) = √3 / 2.

Заменим это значение в наше уравнение:

а^2 = 28 - 12а * (√3 / 2).

Приведем уравнение к более простому виду:

а^2 = 28 - 6а√3.

Теперь решим это уравнение. Для этого мы можем привести его к квадратному уравнению следующим образом:

а^2 + 6а√3 - 28 = 0.

Решим его с помощью формулы для квадратного уравнения:

а = (-6√3 ± √((6√3)^2 - 4 * 1 * -28)) / (2 * 1).

а = (-6√3 ± √(108 + 112)) / 2.

а = (-6√3 ± √220) / 2.

а = -3√3 ± √55.

Из-за физического смысла задачи, используем положительное значение:

а = √55 - 3√3.

Теперь, когда мы нашли длину третьей стороны параллелограмма, можем найти площадь основания. Площадь параллелограмма равна произведению длины одной из сторон на высоту, поэтому площадь основания S = 6 см * 8 см = 48 см^2.

Теперь нам нужно найти полную поверхность призмы. Формула для полной поверхности призмы выглядит следующим образом: S = 2Sосн + Sбок, где Sосн - площадь основания, а Sбок - сумма площадей всех боковых граней.

У нас есть площадь основания Sосн = 48 см^2. Теперь найдем площадь боковой грани Sбок.

Боковая грань призмы имеет форму параллелограмма, и ее площадь вычисляется по формуле Sбок = периметр основания * высоту призмы.

Периметр основания параллелограмма равен сумме длин всех его сторон.

У нас уже известны две стороны параллелограмма - 6 см и 8 см. Найдем длину третьей стороны, которую мы ранее обозначили как а, исользуя формулу а = √55 - 3√3.

Итак, периметр основания равен 6 см + 8 см + а = 6 см + 8 см + (√55 - 3√3) см.

Теперь найдем высоту призмы. У нас нет информации о высоте, но мы можем найти ее с помощью теоремы Пифагора.

Высота призмы является катетом прямоугольного треугольника, а гипотенуза этого треугольника равна длине третьей стороны параллелограмма. Длина второго катета равна половине основания, то есть 8 см / 2 = 4 см.

Теперь можно определить высоту призмы:
высота^2 = длина стороны^2 - половина основания^2.

Высота^2 = а^2 - (4 см)^2.

Высота^2 = (√55 - 3√3)^2 - 4^2.

Решим это уравнение:

Высота^2 = (55 + 9 - 6√165 + 27 - 18√15 + 9) - 16.

Высота^2 = 110 - 74√165 + 18√15.

Теперь найдем площадь боковой грани Sбок:

Sбок = периметр основания * высоту призмы.

Sбок = (6 см + 8 см + (√55 - 3√3) см) * (√110 - 7√165 + 9√15).

Теперь, когда у нас есть площадь боковой грани Sбок и площадь основания Sосн, можем найти полную поверхность призмы.

S = 2Sосн + Sбок.

S = 2 * 48 см^2 + Sбок.

Теперь заменяем значение Sбок:

S = 2 * 48 см^2 + (6 см + 8 см + (√55 - 3√3) см) * (√110 - 7√165 + 9√15).

Значение полученной формулы будет значением полной поверхности призмы, выраженным в квадратных сантиметрах.