Детальна аналізуйте функцію у = 2х-x² для знаходження інтервалів монотонності, точок екстремуму та значень екстремумів

Olga

37

Для начала, нам нужно проанализировать функцию \(y = 2x - x^2\) на монотонность. Чтобы определить монотонность функции, мы должны найти её производную. Производная функции \(y\) будет выглядеть так:

\[
y" = 2 - 2x
\]

Давайте приравняем \(y"\) к нулю и найдем точки экстремума:

\[
2 - 2x = 0
\]

Решая уравнение, получаем:

\[
2x = 2
\]
\[
x = 1
\]

Получили, что точка экстремума находится при \(x = 1\). Теперь можем определить тип экстремума с помощью второй производной. Чтобы найти вторую производную, мы должны взять производную от \(y"\):

\[
y"" = -2
\]

Так как \(y""\) является отрицательным числом, это означает, что точка экстремума является максимумом.

Теперь рассмотрим интервалы монотонности. Заметим, что функция \(y = 2x - x^2\) является квадратичной функцией, и у неё есть вершина (точка экстремума) в точке \(x = 1\).

С помощью простой проверки, мы можем определить интервалы монотонности на основе точки разрыва:

1. Для \(x < 1\): Выберем, например, \(x = 0\). Подставляем это значение в исходную функцию:

\[
y = 2(0) - (0)^2 = 0
\]

Таким образом, для \(x < 1\), функция убывает и равна нулю.

2. Для \(x > 1\): Выберем, например, \(x = 2\). Подставляем это значение в исходную функцию:

\[
y = 2(2) - (2)^2 = 2 - 4 = -2
\]

Таким образом, для \(x > 1\), функция возрастает и равна -2.

Итак, мы получили следующие интервалы монотонности:

a) Функция убывает для \(x < 1\);
b) Функция возрастает для \(x > 1\).

Ответ:

Точка экстремума находится в точке \(x = 1\) и представляет собой максимум. Функция убывает для \(x < 1\) и возрастает для \(x > 1\).