Які виміри основи та висоти прямокутного паралелепіпеда, якщо площа його повної поверхні дорівнює 290 см²?

Orel_5516

55

Чтобы решить эту задачу, давайте вспомним формулы для нахождения площади поверхности прямоугольного параллелепипеда. Площадь поверхности можно найти, сложив площади всех его шести граней.

По определению, прямоугольный параллелепипед имеет три пары равных противоположных сторон. Обозначим длину основы параллелепипеда через \(a\), ширину через \(b\), а высоту через \(h\).

Тогда площадь поверхности параллелепипеда будет равна \(2ab + 2ah + 2bh\), так как каждая из трех плоскостей имеет площадь \(ab\), \(ah\), и \(bh\) соответственно.

Дано, что площадь поверхности параллелепипеда равна 290 см². Подставим это значение в формулу и решим полученное уравнение относительно неизвестных \(a\), \(b\), и \(h\):

\[2ab + 2ah + 2bh = 290\]

Теперь нам нужно найти комбинации длины, ширины и высоты, которые удовлетворяют данному уравнению. Давайте рассмотрим все возможные комбинации длины, ширины и высоты параллелепипеда, начиная с наименьших значений и увеличивая их, пока не найдем соответствующее решение.

Пусть \(a = 1\), \(b = 1\), \(h = 1\) - это наименьшие возможные значения для длины, ширины и высоты параллелепипеда. Подставим эти значения в уравнение:

\[2 \cdot 1 \cdot 1 + 2 \cdot 1 \cdot 1 + 2 \cdot 1 \cdot 1 = 6\]

Получили значение, которое меньше, чем 290. Продолжим поиск комбинаций значений, увеличивая их по одному:

При \(a = 1\), \(b = 1\), \(h = 2\):

\[2 \cdot 1 \cdot 1 + 2 \cdot 1 \cdot 2 + 2 \cdot 1 \cdot 2 = 10\]

Получили значение, которое также меньше, чем 290. Продолжим:

При \(a = 1\), \(b = 1\), \(h = 3\):

\[2 \cdot 1 \cdot 1 + 2 \cdot 1 \cdot 3 + 2 \cdot 1 \cdot 3 = 16\]

Также меньше. Продолжим:

При \(a = 1\), \(b = 1\), \(h = 4\):

\[2 \cdot 1 \cdot 1 + 2 \cdot 1 \cdot 4 + 2 \cdot 1 \cdot 4 = 20\]

Также меньше. Пока мы не нашли комбинацию, которая удовлетворяет условию задачи.

Теперь давайте рассмотрим другие комбинации значений, увеличивая длину и ширину:

При \(a = 2\), \(b = 2\), \(h = 1\):

\[2 \cdot 2 \cdot 2 + 2 \cdot 2 \cdot 1 + 2 \cdot 2 \cdot 1 = 16\]

При \(a = 2\), \(b = 2\), \(h = 2\):

\[2 \cdot 2 \cdot 2 + 2 \cdot 2 \cdot 2 + 2 \cdot 2 \cdot 2 = 24\]

Также меньше. Продолжим:

При \(a = 2\), \(b = 2\), \(h = 3\):

\[2 \cdot 2 \cdot 2 + 2 \cdot 2 \cdot 3 + 2 \cdot 2 \cdot 3 = 32\]

Пока не нашли подходящее решение.

Продолжаем изменять значения и рассматривать другие комбинации:

При \(a = 3\), \(b = 3\), \(h = 1\):

\[2 \cdot 3 \cdot 3 + 2 \cdot 3 \cdot 1 + 2 \cdot 3 \cdot 1 = 30\]

При \(a = 3\), \(b = 3\), \(h = 2\):

\[2 \cdot 3 \cdot 3 + 2 \cdot 3 \cdot 2 + 2 \cdot 3 \cdot 2 = 42\]

При \(a = 3\), \(b = 3\), \(h = 3\):

\[2 \cdot 3 \cdot 3 + 2 \cdot 3 \cdot 3 + 2 \cdot 3 \cdot 3 = 54\]

При \(a = 3\), \(b = 3\), \(h = 4\):

\[2 \cdot 3 \cdot 3 + 2 \cdot 3 \cdot 4 + 2 \cdot 3 \cdot 4 = 66\]

Таким образом, мы видим, что при \(a = 3\), \(b = 3\), \(h = 4\) площадь поверхности параллелепипеда равна 66, что больше, чем заданное значение 290.

Учитывая результаты нашего поиска, мы видим, что площадь поверхности параллелепипеда 290 см² не может быть достигнута с использованием натуральных чисел для длины, ширины и высоты основы. Возможно, в задаче есть опечатка или необходимо использовать другую единицу измерения, чтобы получить решение. Пожалуйста, проверьте условие задачи и уточните, если есть какие-либо дополнительные данные или ограничения.