Как доказать, что данное уравнение 𝑥2 + 4𝑥 + 4𝑦2 – 16𝑦 – 4 = 0 определяет эллипс? Как найти полуоси, координаты

Васька

8

Для доказательства того, что данное уравнение определяет эллипс, мы должны проверить условия, которые характеризуют эллипс. Давайте разберемся пошагово:

1. Сначала приведем уравнение к стандартному виду эллипса: \(\frac{{(x - h)^2}}{{a^2}} + \frac{{(y - k)^2}}{{b^2}} = 1\), где (h, k) - координаты его центра, а a и b - полуоси.

Для этого преобразуем данное уравнение:

\[x^2 + 4x + 4y^2 - 16y - 4 = 0\]

Перегруппируем слагаемые:

\[(x^2 + 4x) + 4(y^2 - 4y) = 4\]

Завершим квадраты, добавляя недостающие слагаемые:

\[(x^2 + 4x + 4) + 4(y^2 - 4y + 4) = 4 + 4 \times 4\]

\[(x + 2)^2 + 4(y - 2)^2 = 20\]

2. Теперь сравним получившееся уравнение с уравнением стандартного эллипса:

\(\frac{{(x - h)^2}}{{a^2}} + \frac{{(y - k)^2}}{{b^2}} = 1\)

Мы видим, что у нас в уравнении нет коэффициентов перед квадратами, а это означает, что a и b равны 2.

Таким образом, у нас получается уравнение эллипса:

\(\frac{{(x + 2)^2}}{{2^2}} + \frac{{(y - 2)^2}}{{2^2}} = 1\)

3. Теперь давайте найдем координаты фокусов, эксцентриситет и уравнения директрис.

Фокусы: Фокусы эллипса могут быть найдены из формулы \(c = \sqrt{{a^2 - b^2}}\), где c - расстояние от центра эллипса до фокусов. В нашем случае a = b = 2, поэтому:

\(c = \sqrt{{2^2 - 2^2}} = \sqrt{{0}} = 0\)

Таким образом, фокусы эллипса совпадают с его центром, то есть координаты фокусов будут (h, k) = (-2, 2).

Эксцентриситет: Эксцентриситет эллипса можно найти по формуле \(e = \frac{{c}}{{a}}\), где c - расстояние от центра эллипса до фокусов, а a - длина полуоси. В нашем случае:

\(e = \frac{{0}}{{2}} = 0\)

Уравнения директрис: Уравнения директрис могут быть найдены по формулам \(y = k \pm \frac{{a}}{{e}}\), где k - координата центра эллипса, a - длина полуоси, e - эксцентриситет. В нашем случае:

\(y = 2 \pm \frac{{2}}{{0}}\)

Здесь возникает деление на ноль, что означает, что у нас нет директрис для этого эллипса.

Итак, данное уравнение определяет эллипс с центром (-2, 2), полуосями длиной 2, фокусами в координатах (-2, 2), и эксцентриситетом равным 0. Уравнения директрис для этого эллипса отсутствуют.