Как доказать, что направления полупрямых AV и A1V1 противоположны на отрезке AV, где точки A (3, -1) и B (1, -2)?

Moroznaya_Roza

49

Чтобы доказать, что направления полупрямых \(AV\) и \(A_1V_1\) противоположны на отрезке \(AV\), мы можем воспользоваться свойством векторов.

Для начала, давайте выразим векторы \(AV\) и \(A_1V_1\). Для этого нам нужно вычислить разность координат точек \(A\) и \(V\), а также точек \(A_1\) и \(V_1\):

\[
AV = V - A = (1, -2) - (3, -1) = (-2, -1)
\]
\[
A_1V_1 = V_1 - A_1 = (1, -2) - (3, -1) = (-2, -1)
\]

Мы получили, что оба вектора равны \((-2, -1)\).

Теперь, чтобы доказать, что направления этих векторов противоположны, мы можем рассмотреть их скалярное произведение. Скалярное произведение двух векторов определяется как произведение их длин и косинуса угла между ними:

\[
AV \cdot A_1V_1 = |AV| \cdot |A_1V_1| \cdot \cos(\theta)
\]

где \(|AV|\) и \(|A_1V_1|\) - длины векторов \(AV\) и \(A_1V_1\) соответственно, а \(\theta\) - угол между ними.

Но поскольку мы уже установили, что векторы \(AV\) и \(A_1V_1\) равны, их длины также будут равны \(\sqrt{(-2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{5}\). Таким образом, мы получаем:

\[
AV \cdot A_1V_1 = \sqrt{5} \cdot \sqrt{5} \cdot \cos(\theta) = 5 \cdot \cos(\theta)
\]

Из этого следует, что если \(AV \cdot A_1V_1\) отрицательно, то угол \(\theta\) между ними должен быть больше \(90^\circ\), то есть направления этих векторов противоположны.

Для вычисления скалярного произведения \(AV \cdot A_1V_1\) нам нужно вычислить сумму произведений соответствующих координат векторов \(AV\) и \(A_1V_1\):

\[
AV \cdot A_1V_1 = (-2) \cdot (-2) + (-1) \cdot (-1) = 4 + 1 = 5
\]

Таким образом, \(AV \cdot A_1V_1 = 5\), что является положительным числом. Это означает, что угол между векторами \(AV\) и \(A_1V_1\) меньше \(90^\circ\), и, следовательно, направления полупрямых \(AV\) и \(A_1V_1\) не являются противоположными на отрезке \(AV\).

В итоге можно заключить, что направления полупрямых \(AV\) и \(A_1V_1\) не противоположны на отрезке \(AV\).