Как доказать, что высота, опущенная на гипотенузу, соответствует формуле c*sin(α)*cos(α)?

Sladkaya_Vishnya

43

Чтобы доказать формулу для высоты, опущенной на гипотенузу прямоугольного треугольника, мы можем использовать теорему синусов и теорему косинусов. Давайте рассмотрим треугольник ABC, где AB - гипотенуза, AC - высота, опущенная на гипотенузу, и BC - вторая катет.

Согласно теореме синусов, отношение длин сторон треугольника к синусам их противолежащих углов равно постоянной величине. В нашем случае это означает, что:

\[\frac{AC}{BC} = \frac{AB}{AC}\sin(\alpha)\]

Так как AB - гипотенуза, то AB = c. Подставив это значение в уравнение, мы получим:

\[\frac{AC}{BC} = \frac{c}{AC}\sin(\alpha)\]

Теперь давайте рассмотрим прямоугольный треугольник ABC с углом α. Согласно теореме косинусов, квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов. В нашем случае это выглядит следующим образом:

\[AB^2 = AC^2 + BC^2\]

Подставим значения из уравнения AC/BC в это уравнение:

\[c^2 = \left(\frac{c}{AC}\sin(\alpha)\right)^2 + BC^2\]

Упростим это выражение, учитывая формулу синуса:

\[c^2 = \frac{c^2}{AC^2}\sin^2(\alpha) + BC^2\]

Если умножить обе части уравнения на \(AC^2\), получим:

\[c^2 \cdot AC^2 = c^2 \cdot \sin^2(\alpha) + BC^2 \cdot AC^2\]

Упростим это выражение еще раз, используя свойство синуса, что sin^2(\alpha) = 1 - cos^2(\alpha):

\[c^2 \cdot AC^2 = c^2 - c^2 \cdot \cos^2(\alpha) + BC^2 \cdot AC^2\]

Теперь выразим BC^2 из теоремы Пифагора (BC^2 = AB^2 - AC^2):

\[c^2 \cdot AC^2 = c^2 - c^2 \cdot \cos^2(\alpha) + (c^2 - AC^2) \cdot AC^2\]

Раскрыв скобки и сократив схожие члены, получаем:

\[c^2 \cdot AC^2 = c^2 - c^2 \cdot \cos^2(\alpha) + c^2 \cdot AC^2 - AC^4\]

Сократим члены и перенесем все на одну сторону уравнения:

\[0 = c^2 - c^2 \cdot \cos^2(\alpha) - AC^4\]

Поделим обе части на c^2, получим конечную формулу:

\[0 = 1 - \cos^2(\alpha) - \left(\frac{AC}{c}\right)^4\]

Теперь внимательно посмотрим на полученное уравнение. Следует заметить, что \(\frac{AC}{c}\) соответствует sin(α) \cdot cos(α). Подставим это значение:

\[0 = 1 - \cos^2(\alpha) - \left(\sin(\alpha) \cdot \cos(\alpha)\right)^4\]

Мы получили то, что хотели доказать:

\[AC = c \cdot \sin(\alpha) \cdot \cos(\alpha)\]

Таким образом, высота, опущенная на гипотенузу прямоугольного треугольника, действительно соответствует формуле c \cdot \sin(\alpha) \cdot \cos(\alpha).