Какие числа посчитала Катя, если их сумма равна 159, а отношение первых двух чисел a:b=5:6 и отношение b:c=3:8?

Глеб

47

Давайте разберем задачу пошагово.

Пусть первое число равно \(a\), второе число равно \(b\), а третье число равно \(c\).

Из условия, дано, что сумма всех трех чисел равна 159:

\[a + b + c = 159 \quad \text{(1)}\]

Также условие говорит нам, что отношение первых двух чисел \(a:b\) равно 5:6. Это означает, что:

\[\frac{a}{b} = \frac{5}{6} \quad \text{(2)}\]

И отношение чисел \(b:c\) равно 3:8. Это означает, что:

\[\frac{b}{c} = \frac{3}{8} \quad \text{(3)}\]

Теперь давайте решим уравнения по очереди.

Сначала, воспользуемся отношением \(a:b = 5:6\), чтобы выразить \(a\) через \(b\):

\[\frac{a}{b} = \frac{5}{6}\]

Умножим обе стороны на \(b\):

\[a = \frac{5}{6} \cdot b\]

Теперь, с помощью отношения \(b:c = 3:8\), выразим \(c\) через \(b\):

\[\frac{b}{c} = \frac{3}{8}\]

Умножим обе стороны на \(c\):

\[b = \frac{3}{8} \cdot c\]

Теперь, подставим выражения для \(a\) и \(b\) из наших уравнений в первоначальное уравнение \((1)\) для суммы:

\[\frac{5}{6} \cdot b + b + c = 159\]

Общий знаменатель равен 6, поэтому умножим каждую часть уравнения на 6, чтобы избавиться от дробей:

\[5b + 6b + 6c = 954\]

Упрощаем выражение:

\[11b + 6c = 954\]

Теперь у нас есть система уравнений:

\[
\begin{align*}
a + b + c &= 159 \\
11b + 6c &= 954
\end{align*}
\]

Продолжим решение системы уравнений. Выразим \(a\) через \(b\) и \(c\) из уравнения (1):

\[a = 159 - b - c\]

Теперь подставим это выражение во второе уравнение \(11b + 6c = 954\):

\[11b + 6c = 954\]

\[(159 - b - c) + b + c = 159 - 954\]

Упрощаем:

\[159 - c = 795\]

\[c = 159 - 795\]

\[c = -636\]

Теперь, найдем \(b\) из уравнения \(11b + 6c = 954\):

\[11b + 6(-636) = 954\]

\[11b - 3816 = 954\]

\[11b = 4770\]

\[b = \frac{4770}{11}\]

\[b = 434 \frac{1}{11}\]

А теперь, найдем \(a\) из уравнения \(a + b + c = 159\):

\[a + 434 \frac{1}{11} - 636 = 159\]

\[a - 202 \frac{10}{11} = 159\]

\[a = 159 + 202 \frac{10}{11}\]

\[a = 361 \frac{1}{11}\]

Таким образом, числа \(a\), \(b\) и \(c\), которые посчитала Катя, равны:
\(a = 361 \frac{1}{11}\),
\(b = 434 \frac{1}{11}\),
\(c = -636\).

Проверим правильность наших ответов. Сложим все три числа и убедимся, что их сумма равна 159:

\(361 \frac{1}{11} + 434 \frac{1}{11} - 636 = 159\).

Так что, наши ответы верны.