Как достичь канонического уравнения (вида Ax^2 + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0) из уравнения x^2-2xy+y^2-10x-6y+25=0

Щелкунчик

24

Чтобы достичь канонического уравнения вида \(Ax^2 + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0\) из данного уравнения \(x^2-2xy+y^2-10x-6y+25=0\), мы можем использовать метод поворота и параллельного переноса.

Шаг 1: Сначала нам нужно выполнить поворот на определенный угол вокруг начала координат. Мы хотим избавиться от кросс-терминов (членов, содержащих \(xy\)).

Для этого давайте введем новые переменные \(u\) и \(v\) следующим образом:

\[x = u\cos\theta - v\sin\theta\]
\[y = u\sin\theta + v\cos\theta\]

где \(\theta\) - угол поворота.

Шаг 2: Теперь запишем уравнение в новых переменных \(u\) и \(v\):

\[(u\cos\theta - v\sin\theta)^2 - 2(u\cos\theta - v\sin\theta)(u\sin\theta + v\cos\theta) + (u\sin\theta + v\cos\theta)^2 - 10(u\cos\theta - v\sin\theta) - 6(u\sin\theta + v\cos\theta) + 25 = 0\]

Раскроем скобки и упростим уравнение:

\[u^2\cos^2\theta - 2u^2\cos\theta\sin\theta + v^2\sin^2\theta + 2u^2\cos\theta\sin\theta + 2v^2\cos\theta\sin\theta + v^2\cos^2\theta - 10u\cos\theta + 10v\sin\theta - 6u\sin\theta - 6v\cos\theta + 25 = 0\]

\[u^2(\cos^2\theta + \sin^2\theta) + v^2(\cos^2\theta + \sin^2\theta) - 10u\cos\theta - 6v\cos\theta + 10v\sin\theta - 6u\sin\theta + 25 = 0\]

Так как \(\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1\), то:

\[u^2 + v^2 - 10u\cos\theta - 6v\cos\theta + 10v\sin\theta - 6u\sin\theta + 25 = 0\]

Избавимся от степеней \(u\) и \(v\) с помощью параллельного переноса.

Шаг 3: Выразим \(u\) и \(v\) через новые переменные \(x"\) и \(y"\):

\[u = x" + a\]
\[v = y" + b\]

где \(a\) и \(b\) - соответствующие величины параллельного переноса.

Шаг 4: Подставим \(u\) и \(v\) в уравнение из Шага 2:

\[(x" + a)^2 + (y" + b)^2 - 10(x" + a)\cos\theta - 6(y" + b)\cos\theta + 10(y" + b)\sin\theta - 6(x" + a)\sin\theta + 25 = 0\]

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

\[x"^2 + 2ax" + a^2 + y"^2 + 2by" + b^2 - 10x"\cos\theta - 10a\cos\theta + 10y"\sin\theta + 10b\sin\theta - 6y"\cos\theta - 6b\cos\theta - 6x"\sin\theta - 6a\sin\theta + 25 = 0\]

\[x"^2 + y"^2 + (2a - 10\cos\theta - 6\sin\theta)x" + (2b + 10\sin\theta - 6\cos\theta)y" + (a^2 + b^2 - 10a\cos\theta - 6b\cos\theta + 10b\sin\theta - 6a\sin\theta + 25) = 0\]

Шаг 5: Подберем значения \(a\) и \(b\) таким образом, чтобы коэффициенты при \(x"\) и \(y"\) равнялись нулю:

\[2a - 10\cos\theta - 6\sin\theta = 0\]
\[2b + 10\sin\theta - 6\cos\theta = 0\]

Решим эту систему уравнений относительно \(a\) и \(b\):

\[a = 5\cos\theta + 3\sin\theta\]
\[b = -5\sin\theta + 3\cos\theta\]

Шаг 6: Подставим значения \(a\) и \(b\) в оставшуюся часть уравнения из Шага 4:

\[(5\cos\theta + 3\sin\theta)^2 + (-5\sin\theta + 3\cos\theta)^2 - 10(5\cos\theta + 3\sin\theta)\cos\theta - 6(-5\sin\theta + 3\cos\theta)\cos\theta + 10(-5\sin\theta + 3\cos\theta)\sin\theta - 6(5\cos\theta + 3\sin\theta)\sin\theta + 25 = 0\]

\[34\cos^2\theta + 14\sin^2\theta - 36\cos\theta\sin\theta + 22 = 0\]

Шаг 8: Раскроем квадраты и приведем подобные слагаемые:

\[34(\cos^2\theta + \sin^2\theta) - 36\cos\theta\sin\theta + 22 = 0\]

Так как \(\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1\), то:

\[34 - 36\cos\theta\sin\theta + 22 = 0\]

\[36\cos\theta\sin\theta = 56\]

\[18\cos\theta\sin\theta = 28\]

\[9\sin 2\theta = 28\]

\[2\sin 2\theta = \frac{28}{9}\]

Шаг 9: Решим уравнение:

\[\sin 2\theta = \frac{28}{18}\]

\[\sin 2\theta = \frac{14}{9}\]

\[\theta = \frac{1}{2}\arcsin\left(\frac{14}{9}\right)\]

Теперь, когда мы знаем значение \(\theta\), \(a\), и \(b\), мы можем записать каноническое уравнение вида \(Ax^2 + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0\).

Для этого используем значения \(\theta = \frac{1}{2}\arcsin\left(\frac{14}{9}\right)\), \(a = 5\cos\theta + 3\sin\theta\), и \(b = -5\sin\theta + 3\cos\theta\).

\[x"^2 + y"^2 + (2a - 10\cos\theta - 6\sin\theta)x" + (2b + 10\sin\theta - 6\cos\theta)y" + (a^2 + b^2 - 10a\cos\theta - 6b\cos\theta + 10b\sin\theta - 6a\sin\theta + 25) = 0\]

\[x"^2 + y"^2 + 4x" + 10y" + 10 = 0\]

Таким образом, мы достигли канонического уравнения \(x^2 + y^2 + 4x + 10y + 10 = 0\) из исходного уравнения \(x^2-2xy+y^2-10x-6y+25=0\) с помощью поворота и параллельного переноса.