Как изменить неравенство log2(14-14x) ≥ log2(x^2-5x+4) + log2(x+5)?

  • 37
Как изменить неравенство log2(14-14x) ≥ log2(x^2-5x+4) + log2(x+5)?
Ledyanaya_Skazka
10
Для начала, рассмотрим данное неравенство:

\[\log_2(14-14x) \geq \log_2(x^2-5x+4) + \log_2(x+5)\]

Чтобы решить это неравенство, мы можем применить свойство логарифма о сумме.

Согласно этому свойству, мы можем преобразовать сумму логарифмов в произведение, и наоборот. Используя это свойство, неравенство можно переписать в следующем виде:

\[\log_2\left(\frac{{14-14x}}{{(x^2-5x+4)(x+5)}}\right) \geq 0\]

Для того чтобы решить это неравенство, мы должны исследовать знак выражения внутри логарифма. Так как база логарифма равна 2, мы можем переписать выражение как:

\[\frac{{14-14x}}{{(x^2-5x+4)(x+5)}} \geq 1\]

Теперь у нас есть неравенство с обычной алгебраической дробью. Чтобы его решить, мы можем применить следующие шаги:

1. Найдите область допустимых значений. В данном случае, мы должны исключить те значения переменной \(x\), которые делают знаменатель равным нулю.

Таким образом, заметим, что \(x^2-5x+4 = 0\) и \(x+5 = 0\) не могут быть истинами.

Решим квадратное уравнение \(x^2-5x+4 = 0\). Мы можем использовать факторизацию или квадратное уравнение.

Факторизуя уравнение, получим \((x-1)(x-4) = 0\).

Таким образом, получаем два корня: \(x_1 = 1\) и \(x_2 = 4\).

Уравнение \(x+5 = 0\) даёт нам ещё один корень: \(x_3 = -5\).

Таким образом, областью допустимых значений для переменной \(x\) является \((- \infty, -5) \cup (-5, 1) \cup (1, 4) \cup (4, +\infty)\).

2. Определите значения, при которых выражение равно 1.

Заметим, что \(1\) является корнем квадратного уравнения \(x^2-5x+4 = 0\), а поэтому при \(x = 1\) значение дроби будет равно \(\frac{0}{0}\), что не имеет смысла.

Поэтому мы исследуем значения, при которых выражение больше 1 или меньше 1.

3. Анализ знака выражения внутри дроби.

Для этого заметим, что уравнение \(14-14x = x^2-5x+4\) представляет собой квадратное уравнение.

Перепишем его в виде:

\[x^2 - 5x + 4 - 14 + 14x = 0\]

\[x^2 + 9x - 10 = 0\]

Сейчас мы можем использовать факторизацию или квадратное уравнение.

Как будет показано ниже, это уравнение имеет два корня: \(x_4 = -10\) и \(x_5 = 1\).

Теперь мы можем создать таблицу знаков:

\[
\begin{array}{c|cccccc}
& (-\infty,-10) & (-10, 1) & (1, 4) & (4, +\infty) & x = -5 & x = 1\\
\hline
(x-1) & - & - & + & + & - & 0\\
(x+4) & - & + & + & + & - & +\\
\frac{{14-14x}}{{(x^2-5x+4)(x+5)}} & + & - & + & + & \text{Неимеетсмысла} & ?
\end{array}
\]

Теперь, чтобы определить знак значения выражения для \(x_5 = 1\), мы можем выбрать любое значение в интервале \((1, 4)\), например, \(x = 2\).

Подставляя \(x = 2\) в выражение, мы получаем:

\[\frac{{14-14 \cdot 2}}{{(2^2-5 \cdot 2+4)(2+5)}} = \frac{{-14}}{{-3 \cdot 7}} > 1\]

Таким образом, выражение больше 1 в интервале \((1, 4)\).

Таким образом, решением задачи является интервал \((1, 4)\) в области допустимых значений переменной \(x\).

Я очень надеюсь, что этот подробный ответ помог вам понять, как решить данную задачу!