Is the following inequality an exponential inequality? 50*9^-х - 100 + 50*9^-х/9^х+2 + 9^-х - 20 + 20*9^х/9^х+1 < 5*9^х

Moroznyy_Voin

52

Чтобы определить, является ли данное неравенство показательным, нужно убедиться, что в нем содержится переменная в показателе степени. Давайте разберемся пошагово.

Перепишем данное неравенство в более удобном виде:
\[50 \cdot 9^{-x} - 100 + \frac{50 \cdot 9^{-x}}{9^{x+2}} + 9^{-x} - 20 + \frac{20 \cdot 9^x}{9^{x+1}} < 5 \cdot 9^x + 0.5 - \frac{15}{9^{x+1}}\]

Теперь проведем упрощение выражения.

\[50 \cdot 9^{-x} + \frac{50 \cdot 9^{-x}}{9^{x+2}} + 9^{-x} + \frac{20 \cdot 9^x}{9^{x+1}} < 106.5 \cdot 9^x - \frac{15}{9^{x+1}}\]

\[9^{-x}(50 + \frac{50}{9^{x+2}} + 1 + \frac{20 \cdot 9^x}{9^{x+1}}) < 106.5 \cdot 9^x - \frac{15}{9^{x+1}}\]

Теперь давайте приведем все слагаемые к общему знаменателю, который представляет собой \(9^x\).

\[9^{-x}(50 \cdot 9^x + \frac{50 \cdot 9^x}{9^2} + 9^x + \frac{20 \cdot 9^x}{9}) < 106.5 \cdot 9^x - \frac{15}{9^{x+1}}\]

\(9^{-x}\) в числителе и знаменателе можно сократить.

\[50 \cdot 9^x + \frac{50 \cdot 9^x}{9^2} + 9^x + \frac{20 \cdot 9^x}{9} < 106.5 \cdot 9^x - \frac{15}{9^{x+1}}\]

Теперь продолжим упрощение:

\[50 \cdot 9^x + \frac{50 \cdot 9^x}{81} + 9^x + \frac{20 \cdot 9^x}{9} < 106.5 \cdot 9^x - \frac{15}{9^{x+1}}\]

\[50 \cdot 9^x + \frac{9}{81} \cdot 50 \cdot 9^x + 9^x + \frac{2}{9} \cdot 10 \cdot 9^x < 106.5 \cdot 9^x - \frac{15}{9^{x+1}}\]

\[50 \cdot 9^x + \frac{50}{9} \cdot 9^x + 9^x + \frac{20}{9} \cdot 9^x < 106.5 \cdot 9^x - \frac{15}{9^{x+1}}\]

\[50 \cdot 9^x + \frac{50}{9} \cdot 9^x + 9^x + \frac{20}{9} \cdot 9^x < 106.5 \cdot 9^x - \frac{15}{9} \cdot 9^{x-1}\]

Теперь объединим все слагаемые.

\[\frac{9}{1} \cdot 50 \cdot 9^x + \frac{9}{1} \cdot \frac{50}{9} \cdot 9^x + \frac{9}{1} \cdot \frac{9}{1} \cdot 9^x + \frac{9}{1} \cdot \frac{20}{9} \cdot 9^x < \frac{9}{1} \cdot 106.5 \cdot 9^x - \frac{9}{1} \cdot \frac{15}{9} \cdot 9^{x-1}\]

Упростим дроби.

\[9 \cdot 50 \cdot 9^x + 9 \cdot \frac{50}{9} \cdot 9^x + 9 \cdot 9 \cdot 9^x + 9 \cdot \frac{20}{9} \cdot 9^x < 9 \cdot 106.5 \cdot 9^x - 9 \cdot \frac{15}{9} \cdot 9^{x-1}\]

\[450 \cdot 9^x + 50 \cdot 9^x + 81 \cdot 9^x + \frac{180}{9} \cdot 9^x < 957 \cdot 9^x - \frac{135}{9} \cdot 9^{x-1}\]

\[450 \cdot 9^x + 50 \cdot 9^x + 81 \cdot 9^x + 20 \cdot 9^x < 957 \cdot 9^x - 15 \cdot 9^{x-1}\]

\[601 \cdot 9^x + 20 \cdot 9^x < 957 \cdot 9^x - 15 \cdot 9^{x-1}\]

\[621 \cdot 9^x < 957 \cdot 9^x - 15 \cdot 9^{x-1}\]

Теперь давайте сравним две стороны неравенства. Если левая сторона меньше правой стороны, то данное неравенство будет показательным. Если же левая сторона больше или равна правой стороне, то данное неравенство не является показательным.

\[621 \cdot 9^x < 957 \cdot 9^x - 15 \cdot 9^{x-1}\]

Вычитаем \(621 \cdot 9^x\) из обоих сторон:

\[0 < 336 \cdot 9^x - 15 \cdot 9^{x-1}\]

Теперь фокус внимания на правой стороне:

\[336 \cdot 9^x - 15 \cdot 9^{x-1}\]

Мы видим, что в показателе степени в правой части есть \(x-1\). Таким образом, данное неравенство НЕ является показательным.

Итак, ответ: Данное неравенство не является показательным, поскольку в нем отсутствует переменная в показателе степени.