Какие координаты имеет точка пересечения прямых, заданных уравнениями: х+5у=5 и х-3у=-11?

Лунный_Ренегат

69

Для решения данной задачи, нам необходимо найти точку пересечения двух прямых, заданных уравнениями \(x + 5y = 5\) и \(x - 3y = -11\).

Мы можем решить эту систему уравнений двумя способами: методом подстановки или методом сложения.

Давайте начнем с метода подстановки.

1. Метод подстановки:

Шаг 1: Решим одно из уравнений относительно одной переменной. Давайте решим первое уравнение:
\(x = 5 - 5y\).

Шаг 2: Подставим найденное значение \(x\) во второе уравнение:
\(5 - 5y - 3y = -11\).

Шаг 3: Решим получившееся уравнение относительно переменной \(y\):
\(-8y = -16\).

Шаг 4: Решим найденное уравнение:
\(y = 2\).

Шаг 5: Теперь, найдя значение \(y\), можем найти значение \(x\) с помощью первого уравнения:
\(x = 5 - 5(2)\).

Шаг 6: Выполнив вычисления, получим:
\(x = -5\).

Итак, точка пересечения этих двух прямых имеет координаты \((-5, 2)\).

2. Метод сложения:

Шаг 1: Приведем уравнения к общему виду, чтобы было удобно сложить их и избавиться от одной переменной.
Умножим первое уравнение на 3, чтобы коэффициенты при переменной \(x\) в обоих уравнениях стали одинаковыми:
\(3x + 15y = 15\).
Второе уравнение оставляем без изменений: \(x - 3y = -11\).

Шаг 2: Сложим два уравнения, чтобы избавиться от переменной \(x\):
\((3x + 15y) + (x - 3y) = 15 + (-11)\).

Шаг 3: Выполним сложение и упростим уравнение:
\(4x + 12y = 4\).

Шаг 4: Решим полученное уравнение относительно переменной \(x\):
\(4x = 4 - 12y\).

Шаг 5: Разделим уравнение на 4, чтобы найти \(x\):
\(x = 1 - 3y\).

Шаг 6: Теперь, найдя значение \(x\), можем найти значение \(y\) с помощью первого уравнения:
\(x + 5y = 5\).

Шаг 7: Подставим найденное значение \(x\) в уравнение:
\(1 - 3y + 5y = 5\).

Шаг 8: Решим получившееся уравнение относительно переменной \(y\):
\(2y = 4\).

Шаг 9: Решим найденное уравнение:
\(y = 2\).

Шаг 10: Теперь, найдя значение \(y\), можем найти значение \(x\) с помощью второго уравнения:
\(x - 3y = -11\).

Шаг 11: Подставим найденное значение \(y\) в уравнение:
\(x - 3(2) = -11\).

Шаг 12: Выполнив вычисления, получим:
\(x = -5\).

Итак, точка пересечения этих двух прямых имеет координаты \((-5, 2)\).

Точка пересечения прямых, заданных уравнениями \(x + 5y = 5\) и \(x - 3y = -11\), имеет координаты \((-5, 2)\).