Как изменить неравенство log5(50 - 25х) > log5 (x2 - 8х +12) +log5 (х+4)​?

Чудесная_Звезда

52

Для того чтобы изменить данное неравенство, мы должны учитывать несколько важных свойств логарифмов.

1. Первое свойство логарифмов: \(\log_a (b \cdot c) = \log_a b + \log_a c\). Оно позволяет нам преобразовать сумму нескольких логарифмов в одно логарифмическое выражение.

2. Второе свойство логарифмов: \(\log_a b^n = n \cdot \log_a b\). Оно позволяет нам преобразовать степень в фактор.

Теперь приступим к решению задачи. Для начала перепишем неравенство с использованием первого свойства логарифмов:

\(\log_5 (50 - 25x) > \log_5 (x^2 - 8x + 12) + \log_5 (x + 4)\)

Теперь объединим два правых логарифма в одно:

\(\log_5 (50 - 25x) > \log_5 [(x^2 - 8x + 12) \cdot (x + 4)]\)

Мы можем избавиться от логарифмов, применив обратную функцию к обеим частям неравенства. В нашем случае обратная функция - это возведение в пятую степень, так как основание логарифма равно 5:

\(50 - 25x > (x^2 - 8x + 12) \cdot (x + 4)\)

Теперь раскроем скобки в правой части:

\(50 - 25x > x^3 + 4x^2 + 12x^2 + 48x + 12x + 48\)

Соберем все слагаемые вместе:

\(50 - 25x > x^3 + 16x^2 + 60x + 48\)

Перепишем уравнение в стандартном порядке с убыванием степеней:

\(x^3 + 16x^2 + 60x - 25x - 50 + 48 > 0\)

\(x^3 + 16x^2 + 35x - 2 > 0\)

Теперь нам нужно решить это неравенство. Один из способов сделать это - это построить график функции \(y = x^3 + 16x^2 + 35x - 2\) и найти интервалы, где график находится выше оси x (y > 0).

Давайте сначала найдем корни уравнения \(y = x^3 + 16x^2 + 35x - 2\), поскольку они являются критическими точками:

\(x^3 + 16x^2 + 35x - 2 = 0\)

Найденные корни уравнения: x ≈ -9.372, x ≈ -0.316, x ≈ 0.689.

Теперь мы можем построить график и определить интервалы, где график находится выше оси x. Воспользуемся тестовыми точками внутри каждого интервала: x = -10, x = -1, x = 1.

1. Проверим интервал (-∞, -9.372):
Подставляем x = -10 в \(y = x^3 + 16x^2 + 35x - 2\) и получаем y < 0.
Значит, на этом интервале график находится ниже оси x.

2. Проверим интервал (-9.372, -0.316):
Подставляем x = -1 в \(y = x^3 + 16x^2 + 35x - 2\) и получаем y > 0.
Значит, на этом интервале график находится выше оси x.

3. Проверим интервал (-0.316, 0.689):
Подставляем x = 1 в \(y = x^3 + 16x^2 + 35x - 2\) и получаем y < 0.
Значит, на этом интервале график находится ниже оси x.

4. Проверим интервал (0.689, +∞):
Подставляем x = 1 в \(y = x^3 + 16x^2 + 35x - 2\) и получаем y > 0.
Значит, на этом интервале график находится выше оси x.

Итак, мы выяснили, что неравенство \(x^3 + 16x^2 + 35x - 2 > 0\) выполняется на интервалах (-9.372, -0.316) и (0.689, +∞).

Ответ: решением исходного неравенства являются такие значения x, которые принадлежат интервалам (-9.372, -0.316) и (0.689, +∞).