Как изменить неравенство log5(50 - 25х) > log5 (x2 - 8х +12) +log5 (х+4)​?

Чудесная_Звезда

52

Для того чтобы изменить данное неравенство, мы должны учитывать несколько важных свойств логарифмов.

1. Первое свойство логарифмов: ${\log }_a(b\cdot c)={\log }_{a}b+{\log }_{a}c$. Оно позволяет нам преобразовать сумму нескольких логарифмов в одно логарифмическое выражение.

2. Второе свойство логарифмов: ${\log }_a{b}^n=n\cdot {\log }_{a}b$. Оно позволяет нам преобразовать степень в фактор.

Теперь приступим к решению задачи. Для начала перепишем неравенство с использованием первого свойства логарифмов:

${\log }_5(50-25x)>{\log }_5(x^2-8x+12)+{\log }_5(x+4)$

Теперь объединим два правых логарифма в одно:

${\log }_5(50-25x)>{\log }_5[(x^2-8x+12)\cdot (x+4)]$

Мы можем избавиться от логарифмов, применив обратную функцию к обеим частям неравенства. В нашем случае обратная функция - это возведение в пятую степень, так как основание логарифма равно 5:

$50-25x>(x^2-8x+12)\cdot (x+4)$

Теперь раскроем скобки в правой части:

$50-25x>x^3+4x^2+12x^2+48x+12x+48$

Соберем все слагаемые вместе:

$50-25x>x^3+16x^2+60x+48$

Перепишем уравнение в стандартном порядке с убыванием степеней:

$x^3+16x^2+60x-25x-50+48>0$

$x^3+16x^2+35x-2>0$

Теперь нам нужно решить это неравенство. Один из способов сделать это - это построить график функции $y=x^3+16x^2+35x-2$ и найти интервалы, где график находится выше оси x (y > 0).

Давайте сначала найдем корни уравнения $y=x^3+16x^2+35x-2$, поскольку они являются критическими точками:

$x^3+16x^2+35x-2=0$

Найденные корни уравнения: x ≈ -9.372, x ≈ -0.316, x ≈ 0.689.

Теперь мы можем построить график и определить интервалы, где график находится выше оси x. Воспользуемся тестовыми точками внутри каждого интервала: x = -10, x = -1, x = 1.

1. Проверим интервал (-∞, -9.372):
Подставляем x = -10 в $y=x^3+16x^2+35x-2$ и получаем y < 0.
Значит, на этом интервале график находится ниже оси x.

2. Проверим интервал (-9.372, -0.316):
Подставляем x = -1 в $y=x^3+16x^2+35x-2$ и получаем y > 0.
Значит, на этом интервале график находится выше оси x.

3. Проверим интервал (-0.316, 0.689):
Подставляем x = 1 в $y=x^3+16x^2+35x-2$ и получаем y < 0.
Значит, на этом интервале график находится ниже оси x.

4. Проверим интервал (0.689, +∞):
Подставляем x = 1 в $y=x^3+16x^2+35x-2$ и получаем y > 0.
Значит, на этом интервале график находится выше оси x.

Итак, мы выяснили, что неравенство $x^3+16x^2+35x-2>0$ выполняется на интервалах (-9.372, -0.316) и (0.689, +∞).

Ответ: решением исходного неравенства являются такие значения x, которые принадлежат интервалам (-9.372, -0.316) и (0.689, +∞).