Как изменить расстояние между телами, чтобы сила тяготения уменьшилась в 2 раза? а) Увеличить в 2 б) Увеличить в корень

Yangol

38

Чтобы понять, как изменить расстояние между телами так, чтобы сила тяготения уменьшилась в 2 раза, давайте вспомним формулу для силы тяготения:

\[F = \frac{{G \cdot m_1 \cdot m_2}}{{r^2}}\]

Где:
- \(F\) - сила тяготения,
- \(G\) - гравитационная постоянная,
- \(m_1\) и \(m_2\) - массы двух тел,
- \(r\) - расстояние между телами.

Нам нужно уменьшить силу тяготения в 2 раза. Для этого нам нужно найти новое расстояние \(r"\), которое можно подставить в формулу и получить нужное отношение.

Предположим, что исходное расстояние между телами равно \(r\), и исходная сила тяготения равна \(F\). Тогда мы хотим, чтобы новая сила тяготения \(F"\) была в два раза меньше исходной силы:

\[F" = \frac{{F}}{2}\]

Мы подставляем в формулу и изменяем расстояние:

\[\frac{{G \cdot m_1 \cdot m_2}}{{r"^2}} = \frac{{F}}{2}\]

Мы хотим найти новое расстояние \(r"\), поэтому выразим его из уравнения:

\[r"^2 = \frac{{G \cdot m_1 \cdot m_2}}{{\frac{{F}}{2}}}\]

Упростим уравнение, умножив обе части на 2:

\[2 \cdot r"^2 = \frac{{2 \cdot G \cdot m_1 \cdot m_2}}{{F}}\]

Теперь извлекаем квадратный корень из обеих частей:

\[\sqrt{{2 \cdot r"^2}} = \sqrt{{\frac{{2 \cdot G \cdot m_1 \cdot m_2}}{{F}}}}\]

Используя свойства корней, можем записать:

\[\sqrt{{2}} \cdot \sqrt{{r"^2}} = \sqrt{{2 \cdot G \cdot m_1 \cdot m_2}} \cdot \frac{1}{{\sqrt{{F}}}}\]

Упростим:

\[\sqrt{{2}} \cdot r" = \frac{{\sqrt{{2 \cdot G \cdot m_1 \cdot m_2}}}}{{\sqrt{{F}}}}\]

Теперь делим обе части на \(\sqrt{{2}}\):

\[r" = \frac{{\sqrt{{2 \cdot G \cdot m_1 \cdot m_2}}}}{{\sqrt{{F}}}} \div \sqrt{{2}}\]

В итоге получаем:

\[r" = \frac{{\sqrt{{G \cdot m_1 \cdot m_2}}}}{{\sqrt{{F}}}}\]

Таким образом, чтобы сила тяготения уменьшилась в 2 раза, необходимо уменьшить расстояние между телами \(r\) в корень из 2 (\(r" = \frac{{\sqrt{{r^2}}}}{{\sqrt{2}}} = \frac{r}{\sqrt{2}}\)).