Как изменить выражение для градиента скорости при ламинарном течении вязкой жидкости в трубе, где слои жидкости имеют

Лёха

17

Для того чтобы найти новую формулу для градиента скорости при ламинарном течении вязкой жидкости в трубе, где слои жидкости имеют различную скорость в зависимости от расстояния \(x\) от оси трубы, мы можем воспользоваться формулой для градиента скорости.

Градиент скорости в данном случае определяется как производная скорости по расстоянию \(x\). Давайте найдем эту производную.

Исходная формула для скорости \(v(x)\) имеет вид:

\[v(x) = \frac{{\Delta p}}{{4 \cdot n \cdot l}} \cdot (r^2 - x^2)\]

где \(r\), \(n\), \(\Delta p\), и \(l\) - константы.

Мы должны найти производную от \(v(x)\) по \(x\), чтобы найти градиент скорости. Давайте это сделаем.

Найдем сначала производную члена \((r^2 - x^2)\). Здесь мы используем правило взятия производной функции, представленной как разность двух функций:

\[\frac{{d}}{{dx}}(r^2 - x^2) = \frac{{d}}{{dx}}r^2 - \frac{{d}}{{dx}}x^2\]

Так как \(r\) - константа, его производная равна нулю:

\[\frac{{d}}{{dx}}r^2 = 0\]

А производная \(x^2\) равна:

\[\frac{{d}}{{dx}}x^2 = 2x\]

Теперь, зная производные каждого члена исходной формулы, мы можем найти производную \(v(x)\):

\[\frac{{dv}}{{dx}} = \frac{{d}}{{dx}} \left( \frac{{\Delta p}}{{4 \cdot n \cdot l}} \cdot (r^2 - x^2) \right)\]
\[= \frac{{\Delta p}}{{4 \cdot n \cdot l}} \cdot \frac{{d}}{{dx}}(r^2 - x^2)\]
\[= \frac{{\Delta p}}{{4 \cdot n \cdot l}} \cdot (0 - 2x)\]
\[= -\frac{{2 \cdot \Delta p \cdot x}}{{4 \cdot n \cdot l}}\]
\[= -\frac{{\Delta p \cdot x}}{{2 \cdot n \cdot l}}\]

Таким образом, новая формула для градиента скорости в ламинарном течении вязкой жидкости в трубе может быть выражена следующим образом:

\[\frac{{dv}}{{dx}} = -\frac{{\Delta p \cdot x}}{{2 \cdot n \cdot l}}\]

Эта формула показывает зависимость градиента скорости от расстояния \(x\) от оси трубы при ламинарном течении.