Как изменится период гармонических колебаний груза, если увеличится жесткость пружины в два раза? Предоставьте решение

Сумасшедший_Рейнджер

12

Для того чтобы понять, как изменится период гармонических колебаний груза, если жесткость пружины увеличится в два раза, мы можем использовать закон Гука и формулу для периода колебаний.

Закон Гука гласит, что сила, действующая на пружину, пропорциональна ее удлинению. Формула закона Гука выглядит следующим образом:

\[ F = -kx \]

где \( F \) - сила, действующая на пружину, \( k \) - коэффициент жесткости пружины и \( x \) - удлинение пружины.

Формула для периода колебаний имеет вид:

\[ T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} \]

где \( T \) - период колебаний, \( m \) - масса груза и \( k \) - коэффициент жесткости пружины.

Теперь давайте рассмотрим, как изменится период колебаний в случае, если жесткость пружины увеличится в два раза.

Если мы удваиваем коэффициент жесткости пружины \( k \), то формула для периода колебаний примет следующий вид:

\[ T" = 2\pi\sqrt{\frac{m}{2k}} \]

Здесь использовано значение нового коэффициента жесткости пружины \( 2k \), так как он увеличен в два раза.

Мы можем упростить данное выражение, разделив числитель и знаменатель на \(\sqrt{2}\):

\[ T" = 2\pi\sqrt{\frac{m}{2k}} = 2\pi\sqrt{\frac{m}{2}\cdot\frac{1}{k}} = \sqrt{2}\cdot(2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}) \]

Таким образом, получаем:

\[ T" = \sqrt{2}\cdot T \]

Из данного выражения видно, что период гармонических колебаний груза изменится пропорционально корню из двух. То есть, если увеличить жесткость пружины в два раза, период колебаний увеличится примерно в 1.41 раза, или примерно на 41 процент. Это означает, что колебания станут быстрее.