Как изменится период колебаний однородного диска радиусом 0,4 м, если ось перенести к центру параллельно самой себе

Valeriya

8

Период колебаний однородного диска можно рассчитать с использованием формулы:

\[T = 2\pi\sqrt{\frac{I}{mgh}}\]

где \(T\) - период колебаний, \(\pi \approx 3.14\) - математическая константа, \(I\) - момент инерции диска относительно его оси вращения, \(m\) - масса диска, \(g\) - ускорение свободного падения, \(h\) - расстояние от центра масс до оси вращения.

Чтобы узнать, как изменится период колебаний, если ось перенести к центру диска, воспользуемся законом сохранения момента инерции:

\[I_1 = I_2\]

где \(I_1\) - момент инерции диска до переноса оси, \(I_2\) - момент инерции диска после переноса оси.

Формула для момента инерции цилиндра вокруг его оси вращения выглядит следующим образом:

\[I = \frac{1}{2}mr^2\]

где \(r\) - радиус диска.

В исходной конфигурации ось находится на расстоянии равном радиусу диска от центра масс, поэтому момент инерции \(I_1\) можно выразить как:

\[I_1 = \frac{1}{2}m(0.4)^2\]

После переноса оси на расстояние, равное \(1/4\) радиуса, новое расстояние от центра масс до оси станет равным \(3/4\) радиуса:

\[h = \frac{3}{4}(0.4) = 0.3\]

Теперь можем выразить момент инерции \(I_2\) после переноса оси:

\[I_2 = \frac{1}{2}m(0.4 - 0.3)^2\]

Как мы знаем, период колебаний зависит от момента инерции. Подставим значения моментов инерции в формулу периода колебаний и найдем разность периодов:

\[\Delta T = T_2 - T_1 = 2\pi\sqrt{\frac{I_2}{mgh}} - 2\pi\sqrt{\frac{I_1}{mgh}}\]

\[\Delta T = 2\pi\sqrt{\frac{\frac{1}{2}m(0.4 - 0.3)^2}{m \cdot g \cdot \frac{3}{4}(0.4)}} - 2\pi\sqrt{\frac{\frac{1}{2}m(0.4)^2}{m \cdot g \cdot 0.4}}\]

Упростим выражение, подставим числовые значения и выполним вычисления:

\[\Delta T = 2\pi\sqrt{\frac{\frac{1}{2}(0.4 - 0.3)^2}{\frac{3}{4}(0.4)}} - 2\pi\sqrt{\frac{\frac{1}{2}(0.4)^2}{0.4}}\]

\[\Delta T \approx 0.2518 - 0.2827\]

\[\Delta T \approx -0.0309\]

Таким образом, период колебаний диска уменьшится на около -0.0309 секунды.

Обратите внимание, что результат отрицательный, что означает, что период колебаний уменьшился.