Как изменится угловая скорость вращения скамьи, если человек, который стоит на ней и держит гири массой m, прижмет руки

Золотой_Лист

65

Для решения этой задачи нам понадобится применить закон сохранения момента импульса. Закон сохранения момента импульса гласит, что момент импульса замкнутой системы сохраняется, если нет внешних моментов, действующих на систему.

Изначально угловая скорость вращения скамьи равна \( \omega_1 \), и её момент инерции равен \( I \).

После того, как человек прижмет гири к себе, момент инерции системы (человека и скамьи) изменится. Пусть новый момент инерции будет обозначаться \( I" \), а новая угловая скорость вращения будет \( \omega_2 \).

Из закона сохранения момента импульса следует, что момент импульса до изменения равен моменту импульса после изменения:

\[ I \cdot \omega_1 = I" \cdot \omega_2 \]

Теперь нам нужно найти связь между \( I \), \( I" \), \( \omega_1 \) и \( \omega_2 \).

Момент инерции скамьи с гирами можно рассчитать как сумму моментов инерции самой скамьи и гиров, представленную следующей формулой:

\[ I = I_{\text{скамьи}} + 2 \cdot I_{\text{гири}} \]

Где \( I_{\text{скамьи}} \) - момент инерции скамьи без гирь, а \( I_{\text{гири}} \) - момент инерции одной гири относительно оси вращения.

Момент инерции точечной массы равен \( m \cdot R^2 \), где \( m \) - масса гири, а \( R \) - расстояние между гири.

Используя эту информацию, можем переписать выражение для \( I \) следующим образом:

\[ I = I_{\text{скамьи}} + 2 \cdot m \cdot R^2 \]

Теперь, после того как человек прижал гири к себе, момент инерции изменяется:

\[ I" = I_{\text{скамьи}} + 2 \cdot m \cdot a^2 \]

Где \( a \) - новое расстояние между гири после прижатия.

Таким образом, мы можем переписать закон сохранения момента импульса следующим образом:

\[ (I_{\text{скамьи}} + 2 \cdot m \cdot R^2) \cdot \omega_1 = (I_{\text{скамьи}} + 2 \cdot m \cdot a^2) \cdot \omega_2 \]

Теперь нам нужно увязать \( R \), \( a \) и \( \omega_2 \).

После прижатия гиры к себе, масса системы остается неизменной, поэтому момент инерции должен быть сохранен. Зная это, мы можем сделать следующее предположение:

\[ I = I" \]

Подставляя выражения для \( I \) и \( I" \) в это равенство, получим:

\[ I_{\text{скамьи}} + 2 \cdot m \cdot R^2 = I_{\text{скамьи}} + 2 \cdot m \cdot a^2 \]

Отсюда можем найти связь между \( R \) и \( a \):

\[ R^2 = a^2 \]

Теперь, используя это равенство, можно переписать закон сохранения момента импульса следующим образом:

\[ (I_{\text{скамьи}} + 2 \cdot m \cdot R^2) \cdot \omega_1 = (I_{\text{скамьи}} + 2 \cdot m \cdot R^2) \cdot \omega_2 \]

Так как \( R^2 = a^2 \), то можно сократить выражения и получить:

\[ \omega_1 = \omega_2 \]

Таким образом, угловая скорость вращения скамьи не изменится, когда человек прижимает гири к себе.

Данное решение основано на предположении, что нет внешних моментов, действующих на систему, кроме момента действия силы гравитации. Если в задаче есть какие-либо другие силы или влияния, то ответ может измениться.