Как изобразить графически решение уравнения 2^(x)=-x-(7)/(4)?

Папоротник

28

Чтобы изобразить графическое решение уравнения \(2^x = -x - \frac{7}{4}\), нам необходимо построить график функций \(y = 2^x\) и \(y = -x - \frac{7}{4}\) на одной координатной плоскости и найти точку пересечения этих двух графиков.

Для начала, вычислим значения обеих функций для нескольких x-координат, чтобы получить некоторые точки, через которые будем строить графики. Начнем с x = -3 и будем увеличивать значение x постепенно, пока не получим представление о форме графиков.

Для функции \(y = 2^x\) получаем следующие значения:
\(x = -3, y = \frac{1}{8}\)
\(x = -2, y = \frac{1}{4}\)
\(x = -1, y = \frac{1}{2}\)
\(x = 0, y = 1\)
\(x = 1, y = 2\)
\(x = 2, y = 4\)
\(x = 3, y = 8\)

Для функции \(y = -x - \frac{7}{4}\) получаем следующие значения:
\(x = -3, y = \frac{17}{4}\)
\(x = -2, y = \frac{15}{4}\)
\(x = -1, y = \frac{11}{4}\)
\(x = 0, y = -\frac{7}{4}\)
\(x = 1, y = -\frac{11}{4}\)
\(x = 2, y = -\frac{15}{4}\)
\(x = 3, y = -\frac{19}{4}\)

Теперь, используя полученные значения, построим графики функций \(y = 2^x\) и \(y = -x - \frac{7}{4}\):

\[
\begin{align*}
\text{График } y = 2^x: \\
\end{align*}
\]
Для начала, отметим на графике полученные точки (не забудьте отобразить и отрицательные значения):

\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
x & y \\
\hline
-3 & \frac{1}{8} \\
-2 & \frac{1}{4} \\
-1 & \frac{1}{2} \\
0 & 1 \\
1 & 2 \\
2 & 4 \\
3 & 8 \\
\hline
\end{array}
\]

Теперь, соединим полученные точки плавными линиями, чтобы получить график функции \(y = 2^x\). График будет иметь форму экспоненты, стараясь проходить через отмеченные точки.

\[
\begin{array}{c}
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
axis lines = left,
xlabel = \(x\),
ylabel = \(y\),
xmin = -3.5,
xmax = 3.5,
ymin = -1,
ymax = 9,
]
\addplot [
domain = -3:3,
samples = 100,
color = blue,
]
{2^x};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\end{array}
\]

Теперь, построим график функции \(y = -x - \frac{7}{4}\). Опять же, отметим полученные точки:

\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
x & y \\
\hline
-3 & \frac{17}{4} \\
-2 & \frac{15}{4} \\
-1 & \frac{11}{4} \\
0 & -\frac{7}{4} \\
1 & -\frac{11}{4} \\
2 & -\frac{15}{4} \\
3 & -\frac{19}{4} \\
\hline
\end{array}
\]

И соединим их линией:

\[
\begin{array}{c}
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
axis lines = left,
xlabel = \(x\),
ylabel = \(y\),
xmin = -3.5,
xmax = 3.5,
ymin = -5,
ymax = 5,
]
\addplot [
domain = -3:3,
samples = 100,
color = red,
]
{-x - 7/4 };
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\end{array}
\]

Теперь взглянув на полученные графики, мы можем увидеть, что уравнение \(2^x = -x - \frac{7}{4}\) имеет одно решение, так как график \(y = 2^x\) и график \(y = -x - \frac{7}{4}\) пересекаются в одной точке.

Используя графики, мы можем приблизительно найти значение x-координаты этой точки пересечения. В данном случае, это значение будет около \(x = -2\).

Уравнение \(2^x = -x - \frac{7}{4}\) имеет единственное решение, \(x \approx -2\).