What is the value of sin(x) if cos(x) = −√3_2 and 180∘ < x < 270∘?

Змея

50

Для решения данной задачи, мы должны использовать тригонометрические соотношения и свойства углов, чтобы найти значение sin(x).

Первое, что нам нужно сделать, это определить, в какой квадрант попадает угол x согласно условию задачи. У нас дано, что \(180^\circ < x < 270^\circ\). Применим следующие правила квадрантов:

1. В первом квадранте \(0^\circ < x < 90^\circ\).
2. Во втором квадранте \(90^\circ < x < 180^\circ\).
3. В третьем квадранте \(180^\circ < x < 270^\circ\).
4. В четвертом квадранте \(270^\circ < x < 360^\circ\).

Исходя из этого, угол x находится в третьем квадранте.

Теперь перейдем к использованию тригонометрических свойств. Мы знаем, что косинус равен катету прилегающего к углу x деленному на гипотенузу. В данной задаче у нас задано, что \(\cos(x) = -\frac{\sqrt{3}}{2}\). Так как косинус отрицательный в третьем квадранте, мы можем выбрать катету как положительное значение \(\sqrt{3}\) и гипотенузу как -2 (так как знак минус указан в условии).

Теперь мы можем решить для синуса. Согласно основному тригонометрическому соотношению, синус равен отношению противолежащего катета к гипотенузе. Так как мы знаем, что гипотенуза равна -2, а противолежащий катет положительный, мы можем записать это следующим образом:

\(\sin(x) = \frac{\sqrt{3}}{-2}\)

Таким образом, значение sin(x) равно \(-\frac{\sqrt{3}}{2}\).