На сколько раз увеличится площадь поверхности призмы, если все её ребра увеличить вдвое? Предоставьте решение

Kiska_8275

33

Для решения этой задачи нам необходимо знать формулу для площади поверхности призмы и видеть, как изменяются её ребра при увеличении вдвое.

Площадь поверхности призмы вычисляется по формуле \( S = 2Ab + Ph \), где \( A \) - площадь основания призмы, \( b \) - периметр основания, \( P \) - периметр боковой грани, \( h \) - высота призмы.

Пусть у нас есть призма с ребром длиной \( a \). Если мы увеличим все ребра вдвое, то новое ребро будет длиной \( 2a \).
Теперь, чтобы вычислить новую площадь поверхности призмы, заменяем \( a \) на\( 2a \) в формуле и вычисляем новую площадь:

\[
S" = 2A"b" + P"h"
\]

Где \( A" \) и \( b" \) - новая площадь основания и новый периметр основания, соответственно, а \( P" \) и \( h" \) - новый периметр боковой грани и новая высота призмы.

Так как все ребра увеличены вдвое, площадь основания \( A" \) будет квадратом площади исходного основания \( A \). То есть \( A" = 4A \).

Также, периметр основания \( b" \) увеличится вдвое, так как каждая сторона увеличивается вдвое. То есть \( b" = 2b \).

Аналогично, периметр боковой грани \( P" \) увеличится вдвое, так как каждая сторона увеличивается вдвое. То есть \( P" = 2P \).

Высота призмы \( h" \) останется неизменной, так как она не зависит от изменения ребер. То есть \( h" = h \).

Теперь, используем эти новые значения в формуле для площади поверхности призмы:

\[
S" = 2(4A)(2b) + (2P)h
\]

Упрощаем выражение:

\[
S" = 8Ab + 2Ph
\]

Как видим, новая площадь поверхности призмы \( S" \) увеличится в 8 раз по сравнению с исходной площадью \( S \), если все её ребра увеличить вдвое.

Таким образом, площадь поверхности призмы увеличится в 8 раз при таких условиях.