Как можно доказать, что из десяти даных точек на плоскости, если из любых четырёх точек можно исключить одну так

Романовна

69

Давайте рассмотрим данную задачу более подробно. У нас есть 10 точек на плоскости, и мы знаем, что для любых 4 из них, можно исключить одну точку так, чтобы оставшиеся три точки лежали на одной прямой. Наша задача - доказать, что из этих 10 точек, 9 точек всегда будут лежать на одной прямой.

Рассмотрим одну из этих четвёрок из точек. У нас есть 4 точки A, B, C и D, такие что оставшиеся 3 точки индексируются как А1, B1 и C1. Мы знаем, что точки A1, B1 и C1 лежат на одной прямой после исключения одной точки из изначальной четвёрки.

Предположим, что для данной четвёрки точек A, B, C и D, исключенная точка это A. Тогда оставшиеся точки B, C и D лежат на одной прямой. Аналогично, если исключенная точка это B, то B, C и D лежат на одной прямой, аналогично для C и D.

Теперь рассмотрим оставшиеся точки А1, B1 и C1. Возможны 4 случая в зависимости от того, которая точка была исключена: A, B, C или D.

В случае когда исключенная точка A, оставшиеся точки B1, C1 и D лежат на одной прямой, так как они были составляющими исходной четвёрки. Точки А1, B1 и C1 находятся на одной прямой по условию.

В остальных 3-х случаях (B, C или D были исключены), оставшиеся точки А, B1 и C1 также будут лежать на одной прямой из-за условия задачи.

Таким образом, мы видим, что наша исходная четвёрка точек A, B, C и D, а также оставшиеся точки А1, B1 и C1, можно представить как две тройки точек, которые лежат на одной прямой.

Применяя это рассуждение последовательно и для всех остальных четвёрок точек, мы можем убрать по одной точке каждый раз, и получим последовательность троек точек, причем оставшиеся точки в каждой тройке будут лежать на одной прямой.

Таким образом, мы доказали, что из изначальных 10 точек, 9 точек всегда будут лежать на одной прямой, что завершает наше доказательство.