Как можно доказать, что отрезок, соединяющий две точки на катетах прямоугольного треугольника, не является гипотенузой

Баська

34

Для доказательства того, что отрезок, соединяющий две точки на катетах прямоугольного треугольника, не является гипотенузой, мы можем использовать свойства прямоугольных треугольников и теорему Пифагора.

Предположим, у нас есть прямоугольный треугольник ABC, где AB и BC - катеты, а AC - гипотенуза. Для удобства мы можем представить этот треугольник на координатной плоскости, где вершина A находится в точке (0,0), вершина B - в точке (0,b), а вершина C - в точке (c,0).

Теперь рассмотрим точку D, которая находится на катете AB, и точку E, которая находится на катете BC. Предположим, что отрезок DE является гипотенузой треугольника. Тогда точка D должна лежать на прямой через вершину C под углом 45 градусов к оси x, а точка E должна лежать на прямой через вершину A под тем же углом.

Теперь рассмотрим треугольник CDE. У нас есть два катета CD и DE, и мы предположили, что отрезок DE является гипотенузой. Применяя теорему Пифагора к этому треугольнику, мы получаем:
\[CD^2 + DE^2 = CE^2\]

Но так как CD и DE - катеты, а CE - гипотенуза, мы должны иметь:
\[CD^2 + DE^2 > CE^2\]

Это противоречие показывает, что предположение о том, что отрезок DE является гипотенузой, неверно. Значит, отрезок, соединяющий две точки на катетах прямоугольного треугольника, не является гипотенузой.