Как можно доказать, что отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, делит ее на две равные по площади части?

Moroz

38

Для начала, рассмотрим трапецию ABCD, где AB и CD - основания, а AD и BC - боковые стороны. Пусть M и N - середины оснований AB и CD соответственно.

Для доказательства, что отрезок MN делит трапецию на две равные по площади части, мы можем воспользоваться следующими шагами:

Шаг 1: Докажем, что отрезок MN параллелен боковой стороне AD.
- Рассмотрим треугольники AMB и DMC. Нам известно, что AM и MD - это по половине основания AB и CD соответственно, а BN и NC - это по половине высоты трапеции.
- Так как MN - это средняя линия треугольника ABC, то по свойству средней линии треугольника, отрезок MN параллелен боковой стороне AD. (обоснование: свойство средней линии треугольника гласит, что средняя линия параллельна третьей стороне и ее длина равна половине суммы длин двух других сторон)

Шаг 2: Докажем, что MN делит трапецию на две равные по площади части.
- Поскольку MN параллелен боковой стороне AD и является средней линией треугольника ABC, то площади треугольников AMB и DMC равны. (обоснование: треугольники AMB и DMC имеют равные основания и одинаковую высоту, следовательно, площади этих треугольников равны)
- Таким образом, отрезок MN делит трапецию ABCD на две равные по площади части.

Шаг 3: Вычислим площадь каждой из этих частей.
- Площадь треугольника AMB можно найти, используя формулу площади треугольника: \(\text{площадь} = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота}\).
- Подставив значения получаем, \(\text{площадь} = \frac{1}{2} \times 5 \times h\), где h - высота треугольника, равная высоте трапеции.
- Аналогично, площадь треугольника DMC равна \(\frac{1}{2} \times 9 \times h\).
- Так как площади треугольников AMB и DMC равны, то каждая из этих площадей равна \(\frac{1}{2} \times 5 \times h\), что равно \(\frac{1}{2} \times 9 \times h\).
- Итак, площадь каждой из двух частей трапеции равна \(\frac{1}{2} \times 5 \times h = \frac{1}{2} \times 9 \times h\).

Таким образом, мы доказали, что отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, делит ее на две равные по площади части, а площадь каждой из этих частей равна \(\frac{1}{2} \times 5 \times h = \frac{1}{2} \times 9 \times h\), где h - высота трапеции.