Как можно доказать, что при проезде автомобиля по выпуклому мосту его вес равен Р = m (g - v²/R) (см. рисунок 113)?

Sergeevna

25

Хорошо, давайте рассмотрим эту задачу подробно.

Нам необходимо доказать, что при проезде автомобиля по выпуклому мосту его вес равен выражению \(Р = m(g - \frac{v^2}{R})\), где \(m\) - масса автомобиля, \(g\) - ускорение свободного падения, \(v\) - скорость автомобиля и \(R\) - радиус кривизны моста.

Давайте проведем анализ сил, действующих на автомобиль во время его движения по мосту.

На автомобиль будут действовать две силы: сила тяжести \(mg\) и центростремительная сила \(F_c\), вызванная движением автомобиля по кривой траектории моста.

Согласно второму закону Ньютона, сумма всех сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение:

\[F_{\text{сум}} = m \cdot a\]

Так как автомобиль движется по горизонтальной поверхности и его скорость постоянна, нет ускорения в горизонтальном направлении и сумма горизонтальных сил равна нулю:

\[F_{\text{гор}} = 0\]

Силы в горизонтальном направлении: сила сопротивления движению и сила трения, компенсирующая эту силу. Однако, нам необходимо обратить внимание на силу, вызывающую движение по кривой траектории моста - центростремительную силу.

Центростремительная сила направлена внутрь кривой траектории и равна произведению массы автомобиля на ускорение центростремительное (\(F_c = m \cdot a_c\)).

Согласно геометрическим свойствам моста, радиус кривизны трассы моста (\(R\)) и центростремительное ускорение (\(a_c\)) связаны следующим образом: \(a_c = \frac{v^2}{R}\), где \(v\) - скорость автомобиля.

Теперь мы можем выразить центростремительную силу, используя выражение \(F_c = m \cdot a_c = m \cdot \frac{v^2}{R}\).

Таким образом, сумма всех сил, действующих на автомобиль, равна \(\text{сила тяжести} - \text{сила центростремительная}\):

\[F_{\text{sum}} = mg - m \cdot \frac{v^2}{R}\]

Так как вес определяется как сила тяжести \(mg\), мы можем заменить сумму всех сил этим значением:

\[mg = mg - m \cdot \frac{v^2}{R}\]

Далее мы можем перенести члены уравнения, содержащие массу автомобиля \(m\), на правую сторону уравнения:

\(mg - mg = m \cdot \frac{v^2}{R}\)

Нули сокращаются, и мы получаем искомое выражение для веса автомобиля:

\(P = mg - \frac{mv^2}{R}\)

Это и доказывает, что при проезде автомобиля по выпуклому мосту его вес равен выражению \(P = m(g - \frac{v^2}{R})\).