Как можно доказать перпендикулярность прямых с уравнениями 3x-5y+7=0 и 10x+6y-3=0?

Vesenniy_Dozhd

6

Чтобы доказать перпендикулярность прямых с данными уравнениями, нам понадобится воспользоваться свойством перпендикулярных прямых, которое указывает на то, что произведение их коэффициентов при одинаковых переменных равно -1.

Для начала, давайте приведем данные уравнения к каноническому виду \(y = mx + c\), где \(m\) - это коэффициент наклона, а \(c\) - это свободный член.

Уравнение 1: \(3x - 5y + 7 = 0\)

Для приведения его к каноническому виду, выразим \(y\):

\(-5y = -3x - 7\)

\(y = \frac{3}{5}x + \frac{7}{5}\)

Итак, у нас получилось уравнение прямой 1 в каноническом виде: \(y_1 = \frac{3}{5}x + \frac{7}{5}\)

Уравнение 2: \(10x + 6y - 3 = 0\)

Выразим \(y\):

\(6y = -10x + 3\)

\(y = -\frac{10}{6}x + \frac{1}{2}\)

Теперь, у нас есть уравнение прямой 2 в каноническом виде: \(y_2 = -\frac{10}{6}x + \frac{1}{2}\)

Теперь, найдем коэффициенты наклона для обеих прямых. Для первой прямой \(y_1\) коэффициент наклона равен \(\frac{3}{5}\), а для второй прямой \(y_2\) коэффициент наклона равен -\(\frac{10}{6}\).

Используя свойство перпендикулярных прямых, мы должны проверить равенство произведения коэффициентов наклона (-\(\frac{10}{6}\)) и (\(\frac{3}{5}\)) равное -1:

\(-\frac{10}{6} * \frac{3}{5} = -1\)

Получаем:

\(-\frac{30}{30} = -1\)

Таким образом, мы доказали, что прямые с уравнениями \(3x - 5y + 7 = 0\) и \(10x + 6y - 3 = 0\) являются перпендикулярными.