Как можно лучше распределить пять видов универсальной зерноуборочной техники для уборки урожая различных зерновых

Ярослава

37

Для того чтобы максимально эффективно распределить пять видов универсальной зерноуборочной техники для уборки урожая различных зерновых культур на пяти участках, мы должны минимизировать общее время уборки.

Для начала, давайте рассмотрим время уборки каждого вида техники на каждом из участков, приведенное в таблице:

\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
& \text{Техника 1} & \text{Техника 2} & \text{Техника 3} & \text{Техника 4} & \text{Техника 5} \\
\hline
\text{Участок 1} & 3 & 4 & 2 & 7 & 5 \\
\hline
\text{Участок 2} & 4 & 5 & 6 & 2 & 3 \\
\hline
\text{Участок 3} & 3 & 8 & 6 & 5 & 4 \\
\hline
\text{Участок 4} & 4 & 4 & 4 & 2 & 3 \\
\hline
\text{Участок 5} & 8 & 5 & 6 & - & - \\
\hline
\end{array}
\]

Для начала, давайте рассмотрим участок 5. Заметим что на этом участке отсутствуют данные для техники 4 и 5. Однако, мы можем пренебречь этими данными и считать время уборки на этом участке равным 0 для техники 4 и 5. Таким образом, мы можем продолжить наше решение, не учитывая эту технику.

Для нахождения оптимального распределения техники на участки, мы можем воспользоваться методом Хангари (венгерского алгоритма). Данный метод позволяет найти оптимальное сочетание между участками и видами техники на основе минимальных стоимостей.

Давайте составим матрицу стоимостей, где элемент \(c_{ij}\) представляет собой время уборки участка \(i\) с помощью техники \(j\):

\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
& \text{Техника 1} & \text{Техника 2} & \text{Техника 3} & \text{Техника 4} & \text{Техника 5} \\
\hline
\text{Участок 1} & 3 & 4 & 2 & 7 & 5 \\
\hline
\text{Участок 2} & 4 & 5 & 6 & 2 & 3 \\
\hline
\text{Участок 3} & 3 & 8 & 6 & 5 & 4 \\
\hline
\text{Участок 4} & 4 & 4 & 4 & 2 & 3 \\
\hline
\text{Участок 5} & 8 & 5 & 6 & - & - \\
\hline
\end{array}
\]

Мы можем преобразовать эту матрицу в матрицу стоимостей, заменив на каждой строке элементы их разностями между минимальным значением строки и самими элементами этой строки:

\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
& \text{Техника 1} & \text{Техника 2} & \text{Техника 3} & \text{Техника 4} & \text{Техника 5} \\
\hline
\text{Участок 1} & 0 & 1 & -1 & 4 & 2 \\
\hline
\text{Участок 2} & 1 & 2 & 3 & -1 & 0 \\
\hline
\text{Участок 3} & -3 & 2 & 0 & -1 & -2 \\
\hline
\text{Участок 4} & 2 & 2 & 2 & 0 & 1 \\
\hline
\text{Участок 5} & 3 & 0 & 1 & - & - \\
\hline
\end{array}
\]

Чтобы найти оптимальное сочетание, мы будем заполнять эту матрицу, начиная с наиболее больших элементов и заканчивая наименьшими.

Давайте приступим к решению:

1. Вычтем минимальное значение каждой строки из элементов строки:

\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
& \text{Техника 1} & \text{Техника 2} & \text{Техника 3} & \text{Техника 4} & \text{Техника 5} \\
\hline
\text{Участок 1} & 1 & 2 & 0 & 5 & 3 \\
\hline
\text{Участок 2} & 2 & 3 & 4 & 0 & 1 \\
\hline
\text{Участок 3} & -1 & 4 & 2 & 1 & 0 \\
\hline
\text{Участок 4} & 0 & 0 & 0 & -2 & -1 \\
\hline
\text{Участок 5} & 3 & 0 & 1 & - & - \\
\hline
\end{array}
\]

2. Вычтем минимальное значение каждого столбца из элементов столбца:

\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
& \text{Техника 1} & \text{Техника 2} & \text{Техника 3} & \text{Техника 4} & \text{Техника 5} \\
\hline
\text{Участок 1} & -1 & 1 & -1 & 6 & 2 \\
\hline
\text{Участок 2} & 0 & 2 & 4 & -1 & 1 \\
\hline
\text{Участок 3} & -3 & 3 & 1 & 2 & -1 \\
\hline
\text{Участок 4} & 0 & -2 & -2 & -3 & -2 \\
\hline
\text{Участок 5} & 3 & -1 & 0 & - & - \\
\hline
\end{array}
\]

3. Выберем минимальное количество линий, покрывающих все нулевые элементы матрицы. В данном случае, нам потребуется 4 линии, чтобы покрыть все нулевые элементы.

4. Если количество линий меньше, чем размерность матрицы, переходим к пункту 6. В противном случае, переходим к пункту 5.

5. Мы нашли оптимальное сочетание. Исходя из матрицы, можем сделать следующие выводы:

- Техника 1 должна быть использована на участке 2, т.к. время уборки 0.
- Техника 2 должна быть использована на участке 1, т.к. время уборки 0.
- Техника 3 должна быть использована на участке 3, т.к. время уборки 0.
- Техника 4 должна быть использована на участке 4, т.к. время уборки 0.

Таким образом, оптимальное распределение техники будет выглядеть следующим образом:

\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
& \text{Техника 1} & \text{Техника 2} & \text{Техника 3} & \text{Техника 4} & \text{Техника 5} \\
\hline
\text{Участок 1} & X & & & & \\
\hline
\text{Участок 2} & & X & & & \\
\hline
\text{Участок 3} & & & X & & \\
\hline
\text{Участок 4} & & & & X & \\
\hline
\text{Участок 5} & & & & & \\
\hline
\end{array}
\]

Где X обозначает выбранную технику для соответствующего участка.

Надеюсь, данное решение понятно школьнику. Распределение техники на участках таким образом поможет сократить общее время уборки. Если у тебя есть еще вопросы, буду рад помочь!